第一章 概率统计基础知识(中级)

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1、第一章概率统计基础知识（中级）第一节概率基础知识一、事件与概率（一）随机现象随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。特点——随机现象的结果至少有两个——至于哪一个出现，人们事先并不知道样本点认识一个随机现象，首要的是能罗列出它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果是今后的抽样单元即样本点。样本空间：记为Ω随机现象可能样本点的全部称为这个随机现象的样本空间。（二）随机事件事件（随机事件）：随机现象的某些样本点组成的集合。用大写英文字母A、B、C……表示。随机事件的特征——任一事件A是相应样本空间Ω中的一个子集。——事件A发生当且仅当（）A中某

2、一样本点发生。——事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言要大家明白无误。——任一样本空间Ω有一个最大子集即Ω；它对应的事件称为必然事件，仍用Ω表示。——任一样本空间Ω都有一个最小子集即空集，它对应的事件称为不可能事件，记为Φ随机事件的关系——包含：AB或BA在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A。——互不相容在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容。可推广到三个或更多个事件间的互不相容——相等：A=B即AB且BA在一个随机现象中有两个事件A与B，若

3、样本A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相等。例：A={（x，y）：x+y=奇数}B={（x，y）：x与y的奇偶性不同}A=B=(1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5)(3,2),(3,4),(3,6)…则：（三）事件的运算事件运算——对立事件：A→在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件，则由在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记。则，，——事件A与B的并：AB由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件。称为A与B的并，发生意味着“事件A与B至少一个发生”——事件A与B的交：AB或AB由事件A与B

4、中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交。发生意味着“事件A与B同时发生”事件的并和交可推广到更多个事件上去。——事件A对B的差：A-B由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件，称为A对B的差。（a）A-B（b）A-B（）事件运算性质：——交换律：，——结合律：——分配律：——对偶律：可用维恩图验证，可推广到三个或三个以上事件的运算。（四）事件的概率概率——事件发生可能性大小的度量在一个随机现象中，用来表示任一随机事件A发生可能性大小的实数称为该事件的概率，记为P（A）。概率是一个介于0和1之间的数，即0≤P(A)≤1;必然事件的概率等于1，即P（Ω

5、）=1；不可能事件的概率等于0，即P（Φ）=0。二、概率的古典定义与统计定义（一）古典定义——所涉及的随机现象只有有限个样本点。如共有n个样本点；——每个样本点出现的可能性是相同的（等可能性）；——假如被考察事件A含有K个样本点，则事件A的概率定义为（二）统计定义——与考察事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的；——若在n次重复试验中，事件A发生Kn次，则事件A发生的频率为：——fn(A)将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。一般用重复次数n较大时的频率去近似概率。三、概率的性质及其运算法则概率的性质：（可由概率的定义看出）

6、——性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；——性质2：——性质3：若AB则P（A-B）=P（A）-P（B）——性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）若A与B互不相容P（A∪B）=P（A）+P（B）——性质5：对于多个互不相容事件A1，A2，……，有P(A1∪A2∪A3∪……)=P(A1)+P()+p(A3)+……；四、条件概率与概率的乘法法则（1）条件概率两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率称为条件概率，记P（A/B）。计算公式：性质6：对任意二个事件A与B，有P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P(A)P(B

7、)0P(A)0（2）独立性和独立事件的概率相互独立：设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则称A事件与B事件相互独立。性质7：假如二个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B)性质8：假如二个事件A与B相互独立，则在事件B发生条件下，事件A的条件概率P(AB)等于事件A的（无条件）概率p(A)∵事件的相互独立可推广到三个或更多的事件上去。第二节随机变量及其分布一、随机变量随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X、Y、Z……表示。随机变量类型——离散随机变量一个随机变

8、量仅取数轴