算法、框图、复数、推理与证明11-4数学归纳法理

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1、重点难点重点：数学归纳法．难点：①数学归纳法的证明思路．②初始值n0的确定．知识归纳1．归纳法归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法．2．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：验证当n取第一个值n0时结论成立；(2)归纳递推：

2、假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论成立．推出n＝k＋1时结论也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n(n≥n0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3．归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳—猜想—证明”．它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究、认识发现规律的有效途径，也是用来培养创新思维能力的有效办法，因此，它就成了高考命题的热点之一．误区警示在应用数学归纳法的过程中：第①步，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，

3、根据题目要求，有时可为2、3等．第②步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的．另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设n＝k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为k>n0就错了．添减项法和放缩法1．用数学归纳法证明命题时，根据需要有时应添项或减项，这是数学归纳法证题的常用技巧．2．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头．[例1]用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n

4、－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到()A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k解析：原等式左边是20＋21＋22＋…＋2n－1，从20到2n－1，右边是2n－1，故当n＝k时，等式为20＋21＋…＋2k－1＝2k－1，当n＝k＋1时，等式为20＋21＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1＝2k－1＋2k.答案：D点评：用数学归纳法证明命题时，从n＝k到n＝k＋1的过

5、渡是证题的关键环节，实际证明时，要据不同问题用不同方法讨论，证明恒等式或不等式时，关键要抓住项数和项的增减变化．证明整除性命题时，凑出归纳假设的形式是关键；证明图形类问题时，要注意从n＝k到n＝k＋1，究竟图形中发生了哪些变化等等．用数学归纳法证明命题“n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，假设n＝k(k为正奇数)时，命题为真，则进而需证当________时命题为真()A．n＝k＋1B．n＝k＋1(k为正奇数)C．n＝k＋2(k为正奇数)D．n＝2k－1(k为正奇数)答案：C点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边项的构成规律，等式的两

6、边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．当n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．分析：从n＝k到n＝k＋1的过渡，左边增加了因式(2k＋1)(2k＋2)减少了因式k＋1，右边2k变成2k＋1增加了因式(2k＋1)．证明：(1)当n＝1时，左边＝2＝右边，等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，则当n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(

7、k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1)＝2k·2(2k＋1)＝2k＋1·[2(k＋1)－1]等式也成立．由(1)、(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立.点评：用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式．点评：用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时，不是不能结合其它证明方法，而是证明n＝k＋1时结论成立时，必须用上归纳假设(即n＝k时命题的结论)．本题中证明②式成立，不能丢开①式另用其它方法，只要把①