龙de船人单跨量的弯曲理论

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1、单跨梁的弯曲理论第二章教学目的1.通过本章内容的学习，能够掌握梁的弯曲微分方程及其解；2.熟练掌握梁的支座及边界条件，梁的弯曲要素及计算；3.掌握梁的复杂弯曲；4.了解梁的内力计算，剪力对梁的弯曲变形影响重点及难点1.符号法则，边界条件；2.初参数法求梁的弯曲要素；3.叠加法求梁的弯曲要素，画弯矩图；§2-1梁的弯曲微分方程式及其积分基本概念：梁：受横向外载荷作用而发生弯曲变形的杆件。单跨梁：仅在两端有支座支持的梁，称之为“单跨梁”。基本假设：平断面假设（在纯弯曲条件下严格满足）。一、梁的弯曲微分方程1、符号法则：（1）坐标系：采用右手坐标系，y轴向下为正；（2）横向载荷：P、q(x)向下为正

2、（3）梁的挠度v(x)：向下为正。（4）梁的断面转角θ(x)：顺时针方向为正（5）梁断面的弯矩M(x)：在左断面逆时针方向为正，右断面顺时方向为正（使梁产生上凸变形为正）。（6）梁端面的剪力N(x)：在左断面向下为正，在右断面向上为正（逆时针转为正）本节寻求梁挠度曲线方程式的基本方法：初参数法2、假设（1）平断面假设：指梁在弯曲前的断面在弯曲后仍为平面，即忽略了剪应力引起的翘曲（翘曲：对于非圆截面杆件受扭矩时，横截面的周长将改变原来的形状，并不在同一平面内，因而发生翘曲）；对于细长梁（高跨比很小时），梁内的正应力时弯曲切应力的十几倍甚至几十倍，即剪力对线性分布的正应力的影响很小。（2）平面弯曲

3、假设：载荷作用在梁的对称平面内，无斜弯和扭转，轴线为平面曲线；（3）小变形条件：（4）材料符合胡克定律：梁的弯曲微分方程式如下图一单跨直梁。假定此梁有一对称面xOy，并规定x轴在梁的中性层上，向右为正，ｙ轴向下为正，ｚ轴ｘ,ｙ与组成右手坐标系统。梁的外荷重限于在xOy平面内，于是梁将发生xOy平面内的弯曲。弯曲时，x轴上点的垂向位移叫做梁的“挠度”，v(x)叫做梁的“挠曲线”，v的正向与y轴的正向相同。PqyxOdxxyzV（x）yxO（1）小变形条件：根据平断面假设，梁上原来相距为dx的两个断面变形后将相互转动图(a)，(b)为梁的断面。并规定弯矩M正向如图所示:oxyydxq(x)dxMN

4、N+dNM+dM于是：(a)(b)(2-1)(2)由微积分学分学知，该坐标系下小变形时(3)梁断面上弯曲正应力合力为零，即(2-5)（因转角变化率为负，顺时针为正）梁断面对z轴的惯性矩(2-6)(2-8)3、基本公式（2-9）梁的弯曲要素：弯矩M，剪力N、转角θ、挠度v(2-13)Olxy(2-14)(2-15)现应用这个概念于在跨度中受集中力作用的梁。OblxyPamq(x)cxd综上所述，如图对于一般荷重作用下的挠曲线方程式可表示如下：POxbcyadq(x)m(2-17)§2-2梁的支座及边界条件梁的弯曲微分方程的积分常数需要用梁端的边界条件来确定边界条件：梁端弯曲要素的特定值或弯曲要素

5、之间的特定关系，取决于梁端的支座情况。下面介绍几种船舶结构中常用的边界条件：1.自由支持端（简支端）2.刚性固定端3.弹性支座4.弹性固定端5.完全自由端6.一般情况1、自由支持端（自由支持在刚性支座上)特点：不允许梁端发生挠度，而对梁两端转动无限制。如图：2、刚性固端（刚性固定在刚性支座上）特点：它阻止梁端发生挠度和转动如图:RR3、弹性支座如果前面的自由支持端，它在受力后将发生一个正比于支座力的挠度，叫做弹性支座。vvAA左端断面：右端断面：弹性支座边界条件为：自由支持在弹性支座上的边界条件为：刚性固定在弹性支座上的边界条件为：4、弹性固定端MM等价于节点受到的力梁受到的力大小相等方向相反

6、MM柔度系数：单位弯矩引起的转动角度。K刚度系数：单位位移引起的力矩弹性固定在刚性支座上其边界条件为：在船体结构计算中，双层甲板船的上甲板横梁与甲板间肋骨对横梁的作用可视为弹性固定端，则甲板横梁可视为以单跨梁。见下图5、完全自由端：梁端没有支座，弯矩剪力都为零6、一般情况：弹性固定在弹性支座上时：例1如图，求两端自由支持在刚性支座上，受均布荷重作用的梁的挠曲线qOylx思考：1、若梁两端为自由支持在弹性支座的边界，挠曲线及内力分布如何？2、若改变梁两端弹性支座的刚度系数或柔度系数，挠曲线及内力分布如何？例2如图，求受集中力作用的单跨梁的挠曲线方程式。梁的左端为弹性固定端，柔性系数为；梁的右端

7、为弹性支座，柔性系数为PAxy例3如图，两端刚性固定的梁，不受外荷重，当其由支座发生位移Δ时，求其挠曲线与断面弯矩与剪力。xyl解：1、建立如右图坐标系2、对梁进行受力分析myxl补例：如左图所示两端简直单跨梁，梁长为l，右端受一集中力矩m作用，求梁两端转角。o解：1、建立如图所示坐标系；2、受力分析，此梁上无外载荷；3、根据（2-14）写出梁挠曲线方程θ0θl4.左端边界条件，简化挠曲线方程5.