21随机过程的基本概念和统计特性

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1、2.1随机过程的基本概念和统计特性2.2平稳随机过程2.3高斯随机过程2.4随机过程通过线性系统2.5窄带随机过程2.6正弦波加窄带高斯噪声第2章随机信号分析返回主目录第2章随机过程2.1随机过程的基本概念和统计特性2.1.1随机过程信号参数变化过程分成为两类。1）、信号参数变化过程具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为确定性过程。例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。2）、信号参数变化过程没有一个确定的变化规律，用数学语言来说，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过

2、程称为随机过程。下面我们给出一个例子：在相同的工作环境和测试条件下记录n台性能完全相同的接收机输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。随机过程的定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形，称为样本函数或实现，记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。ξ(t)代表随机过程，表示无穷多个样本函数的总体，如

3、图2-1所示。图2-1样本函数的总体上例中接收机的输出噪声波形也可用图2-1表示：把对接收机输出噪声波形的观测看作是进行一次随机试验，每次试验之后，ξ(t)取图中所示的样本空间中的某一样本函数，至于是空间中哪一个样本，在进行观测前是无法预知的，这正是随机过程随机性的具体表现。其基本特征体现在两个方面：1）、它是一个时间函数；2）、在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t变化的随机变量。随机过程是依赖时间参数的一族随机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。在以下研究随机过程时正是利用了这两个特点。2.1.2随机过程的统计特性由于随机过程具有两重性，可以用与

4、描述随机变量相似的方法，来描述它的统计特性。设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率P［ξ(t1)≤x1］，简记为F1(x1,t1)即F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］(2.1-1)上式称为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有则称f1(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不

5、同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。任给两个时刻t1,t2，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1),ξ(t2)}，F2(x1,x2;t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2｝(2.1-3)称为随机过程ξ(t)的二维分布函数。概率密度函数是概率分布函数的导数则称f2(x1,x2;t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。同理，任给t1,t2,…,tn，则ξ(t)的n维分布定义为：Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…,ξ(tn)≤xn｝如果存在则称fn(x1,x2,…,xn;t

6、1,t2,…,tn)为ξ(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。2.1.3随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。1.数学期望设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1,t1)，则ξ(t1)的数学期望为注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t,x1改为x,这时上式就变为

7、随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)，于是a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心，即均值。2.方差（2.2—3）22（2.2—4）D［ξ(t)］常记为σ2(t)。方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的