随机过程的统计特性

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1、2.2随机过程的统计特性2.2.1随机过程的概率分布1.一维概率分布对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，设x为任意实数，定义为随机过程X(t)的一维分布函数。若的一阶偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的一维概率密度。随机过程一维分布的性质：2.二维概率分布和n维概率分布对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构成二维随机变量{X(t1),X(t2)}，它的二维分布函数称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。若对x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的二维概率密度。对于任意的

2、时刻t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义为随机过程X(t)的n维概率分布函数。为随机过程X(t)的n维概率密度。随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度若两个随机过程互相独立，则有一个随机过程不同时刻状态间互相独立，即X(t1)和X(t2)互相独立例：设随机过程其中w0是常数，X是均值为零，方差为1的正态随机变量，求时Y(t)的概率密度，及Y(t)的一维概率密度。2.2.2随机过程的数字特征1.数学期望对于任意的时刻t，X(t)是一

3、个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为mx(t)，即2.方差对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差，记为D[X(t)]，即3.自相关函数和协方差函数设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称相关函数设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2)的二阶联合中心矩为X(t)的自协方差

4、函数当时，当时，若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的。若RX(t1,t2)=0，则称X(t1)和X(t2)是相互正交的。若则称随机过程在t1和t2时刻的状态是相互独立的。4.互相关函数和互协方差函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1)和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数定义为类似地，定义两个随机过程的互协方差函数为若对于任意时刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是正交过程，此时有若对于任意时

5、刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是互不相关的，此时有当X(t)和Y(t)互相独立时，满足则有当X(t)和Y(t)互相独立时，X(t)与Y(t)之间一定不相关；反之则不成立。研究随机过程有两条途经：侧重于研究概率结构侧重于统计平均性质的研究例：求随机过程的数学期望，方差及自相关函数。其中，w0为常数，是在区间上均匀分布的随机变量。2.2.3随机过程的特征函数对于某一固定时刻t，随机变量X(t)的特征函数就定义为随机过程的一维特征函数一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系随机过程的二维特征函数：随机过

6、程在任意两个时刻t1和t2的取值构成一个二维随机变量{X(t1),X(t2)},它的特征函数定义为随机过程X(t)的二维特征函数。随机过程的特征函数与矩函数之间的关系为：相关函数与二维特征函数之间的关系为：