最短距离问题讲稿

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1、立体几何中最短路径问题（讲稿）名言警句引入问题这就是我们这堂课要研究的立体几何中的最短距离问题.实例1.倾斜角为的山坡上点处站了一人,他要走到山下的点处,假设该人是你,你怎么走距离才最近?实例2..有一个长方体形的水泥构件，其中，，，现在小蚂蚁要从点沿表面到放有食物的点，则小蚂蚁需走的最BCDAB1C1D1C1B1A1（图3）短路线长为多少?DABCA1B1D1C1D1C1（图2）ABCDA1B1CC1C1D1（图1）ABDA1B1CC1D1abc【反思】“展开问题”是指将立体图形的表面（或部分表面）按一定的要求

2、铺成平面图形，再利用平面图形的性质解决立体问题的一类题型．解决展开问题的关键是：确定需要展开立体图形中的哪几个面（有时需要分类讨论），以及利用什么平面定理来解决对应的立体问题．方法策略总结:解题策略:把立体图转化为平面展开图,达到在平面上利用两点间线段最短来解决问题的目的.我们称该方法为“展平法”4方法运用与过手:例.正三棱柱中，各棱长均为2，为中点，为的中点，则在棱柱的表面上从点到点的最短距离是多少?并求之.解析：(1)从侧面到，如图1，沿棱柱的侧棱剪开，并展开，则＝＝(2)从底面到点，沿棱柱的剪开、展开，如图

3、2.则＝＝∵＜∴＝.要点提醒：把立体图正确的转化为平面展开图是“展平法”的核心！要点提醒:画出立体图的各种平面展开图是“展平法”能否得到正确答案的关键变式：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为多少？A1EABCB1FC1（变式图）4解析：将三棱柱中含有点E和点F的相邻两个面展开（注意分类：如图1-4所示），分别求出各不同的展开图中线段EF的长度，其中最小的数是．故答案为：．A1EABCB1FC1（图1）A

4、1EABCB1FC1（图2）A1EABCB1FC1（图4）A1EABCB1FC1（图3）课堂达标训练：1.若四面体ABCD的每一条边长为a，有一只蚂蚁从顶点A沿表面爬到对面三角形BCD的中心O，则它爬行的最短距离是多少?2.如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，,，，是上一动点，则的最小值是4PABCFE3．如图，在正三棱锥P-ABC中，PA=2，∠APB=30°，经过点A的平面与侧棱PB、PC交于E、F两点，则△AEF周长的最小值为．PABCA＇‘‘‘EF分析：将正三棱锥P-ABC的侧面沿侧棱PA剪开后，铺成平

5、面图形PABCA＇（五边形），如右图所示，然后利用定理“两点之间，线段最短”可以得出：△AEF周长的最小值就是线段AA＇的长度．解答：将正三棱锥P-ABC的侧面展开得到五边形PABCA＇，则△AEF周长=AE+EF+FA＇，当且仅当A、E、F、A＇四点共线时，△AEF的周长取得最小值，即线段AA＇的长度，因为在正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，所以在五边形PABCA＇中，∠APA＇=90°，又PA＇=PA=2，所以AA＇=，即△AEF周长的最小值为．总结:【反思】“展开问题”是指将立体图

6、形的表面（或部分表面）按一定的要求展开成平面图形，再利用平面图形的性质解决立体问题的一类题型．利用“展平法”解决立体几何中的最短路径问题的关键是：确定需要展开立体图形中的哪几个面（有时需要分类讨论），以及展开后的各种量的关系，变化。从而达到利用平面最短距离的方法解决立体图形中折线最短长度问题。4