线性代数第四章特征值与特征向量第4节

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1、第四节实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵的相关结论用正交矩阵P化实对称矩阵A为对角形矩阵的方法实对称矩阵的特征根是实数。一、实对称矩阵的相关结论定理6.4定理的意义由于实对称矩阵A的特征值是实数所以实系数齐次线性方程组必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.证明于是有两式相减，得是实对称矩阵A的两个特征根，分别是对应于设的特征向量，若定理6.5证明于是设A是n阶实对称矩阵，从而对应特征根恰有r个线性无关的特征向量。定理6.6为对角元素的对角矩阵。设A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P定理6.7证明:设A的

2、互不相等的特征根为它们的重数依次为这样的特征向量共可得n个。按定理6.5知对应于不同特征根的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交。则对应特征根线性无关的实于是以它们为列向量构成的正交矩阵P,其中对角矩阵的对角元素特征向量，把它们正交化并单位化,即得个单位正交的特征向量.1)求A的特征值.其中2)对于每个求特征向量设二正交矩阵P化对称阵A为对角阵的代数重数.的基础解系,3)对重特征值算出的特征向量,分别作施密特正交化,(没有重特征值或已经正交的可以省略此步骤),然后再单位化,得标准正交基.则P是一个n阶正交

3、阵,且解由于是得正交阵的基础解系为标准正交化得：可以验知仍有此例中对应于若求得方程注意：例已知三阶矩阵A的特征值求矩阵B的特征值以及与之相似的对角矩阵。解因为三阶矩阵A有三个不同的特征值，所以从而:存在可逆矩阵P使由定理3,所以B的特征值为-4，-6，-12从而所求与B相似的对角矩阵为：1.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.　利用正交矩阵将对

4、称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．小结练习对实对称矩阵，求出正交矩阵使为对角阵.解第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化思考题如何把一个实对称矩阵标准正交化？