2015-2016学年天津市六校联考高一(上)期末数学试卷

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2015-2016学年天津市六校联考高一（上）期末数学试卷　一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（　　）A．∅B．{x|x＜0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．（4分）已知sin（+a）=，则cos2a的值为（　　）A．B．C．D．3．（4分）非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（　　）A．60°B．90°C．120°D．135°4．（4分）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（　　）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．（4分）把函数的图象向右平移m（其中m＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）A．B．C．D．6．（4分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足f（2x﹣1）＞f（）的x取值范围是（　　）A．B．C．D．7．（4分）函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（　　）A．B．C．D．8．（4分）函数f（x）=若x1，x2，x3是方程f（x）+a=0三个不同的根，则x1+x2+x3的范围是（　　）A．B．C．D．　二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）cos（﹣600°）=　　．10．（4分）已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）的值是　　．第14页（共14页） 11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，的图象如右图所示，则f（x）=　　．12．（4分）函数y=lg（x2﹣1）的递增区间为　　．13．（4分）如图，边长为l的菱形ABCD中，∠DAB=60°，，则=　　．14．（4分）已知f（x）是奇函数，满足f（x+2）=﹣f（x），f（1）=2，则f（2015）+f（2016）=　　．　三、解答题（共5小题，满分64分）15．（12分）已知，θ是第二象限角，求：（1）tanθ的值；（2）的值．16．（12分）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x+2a（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当时，f（x）的最小值为0，求f（x）的最大值．17．（12分）已知f（x）=（a＞0）是定义在R上的偶函数，（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性；（3）若关于x的不等式f（x）﹣m2+m≥0的解集为R，求实数m的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）=，其中向量，，ω＞0，且f（x）的最小正周期为π．第14页（共14页） （1）求ω的值；（2）求f（x）的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）将f（x）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于点对称，求φ的最小正值．19．（14分）已知函数，其中x∈（﹣4，4）（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（﹣4，4）上的单调性；（3）是否存在这样的负实数k，使f（k﹣cosθ）+f（cos2θ﹣k2）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．　第14页（共14页） 2015-2016学年天津市六校联考高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）（2016•银川校级一模）已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（　　）A．∅B．{x|x＜0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【分析】利用指数函数的性质求出集合N中x的范围，确定出N，求出M与N的交集即可．【解答】解：由集合N中的2x＞1=20，得到x＞0，即N={x|x＞0}，∵M={x|x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}．故选D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　2．（4分）（2015秋•天津期末）已知sin（+a）=，则cos2a的值为（　　）A．B．C．D．【分析】由诱导公式知sin（+a）=cosα=，根据二倍角的余弦公式从而有cos2α=2cos2α﹣1=﹣1=﹣．【解答】解：sin（+a）=cosα=，cos2α=2cos2α﹣1=﹣1=﹣．故选：D．【点评】本题主要考察二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用，属于中档题．　3．（4分）（2015秋•天津期末）非零向量，，若，，且⊥，则向量与的夹角是（　　）A．60°B．90°C．120°D．135°【分析】根据向量垂直得出数量积为零，解出，代入向量夹角公式计算．【解答】解：∵⊥，∴（）=0，即+=0，∴=﹣4．∴cos＜＞===﹣．∴＜＞=120°．第14页（共14页） 故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于基础题．　4．（4分）（2016•东城区模拟）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（　　）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选B．【点评】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．　5．（4分）（2015秋•天津期末）把函数的图象向右平移m（其中m＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）A．B．C．D．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，k∈z，故φ的最小正值为，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．　6．（4分）（2015秋•天津期末）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足f（2x﹣1）＞f（）的x取值范围是（　　）A．B．C．D．第14页（共14页） 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式等价转化为f（|2x﹣1|）＞f（），然后利用函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，且满足f（2x﹣1），∴不等式等价为f（|2x﹣1|）＞f（），即|2x﹣1|＜，∴﹣2x，解得x＜，故x取值范围是（），故选A．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化是解决本题的关键．　7．（4分）（2013•日照一模）函数f（x）=lg（|x|﹣1）的大致图象是（　　）A．B．C．D．【分析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：∵函数f（x）=lg（|x|﹣1），∴f（﹣x）=lg（|x|﹣1）=f（x），f（x）是偶函数，当x=1或﹣1时，y＜0，故选B；【点评】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；　8．（4分）（2015秋•天津期末）函数f（x）=若x1，x2，x3是方程f（x）+a=0三个不同的根，则x1+x2+x3的范围是（　　）A．B．C．D．【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得﹣2＜a＜﹣1，从而结合图象解得．第14页（共14页） 【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，，∵x1，x2，x3是方程f（x）+a=0三个不同的根，∴方程f（x）=﹣a有三个不同的根，∴1＜﹣a＜2，∴﹣2＜a＜﹣1；不妨设x1＜x2＜x3，∵sin（2x+）=1，∴x=；结合图象可知，x2+x3=×2=；∵1＜2﹣x＜2，∴﹣1＜x＜0，∴﹣1＜x1＜0，∴x1+x2+x3∈．故选：B．【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．　二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．（4分）（2015秋•天津期末）cos（﹣600°）=　﹣　．【分析】原式根据余弦函数为偶函数化简，角度变形后，再利用诱导公式计算即可得到结果．【解答】解：cos（﹣600°）=cos600°=cos（720°﹣120°）=cos（﹣120°）=cos120°=cos（180°﹣60°）=﹣cos60°=﹣，第14页（共14页） 故答案为：﹣．【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．　10．（4分）（2015秋•天津期末）已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）的值是　　．【分析】直接利用两角和的正切函数公式求解即可．【解答】解：因为tan（α+β）=，，所以tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===．故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，基本知识的考查．　11．（4分）（2015秋•天津期末）函数f（x）=Asin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，的图象如右图所示，则f（x）=　2sin（2x+）　．【分析】根据函数图象得出函数周期，运用待定系数法求出函数解析式．【解答】解：由图象得f（x）的周期为2（）=π，∴ω=2．∴f（x）=Asin（2x+φ），有图象可知f（）=0，∴Asin（+φ）=0，∴sin（+φ）=0，∵，∴φ=．又∵f（0）=1，∴Asin=1，∴A=2．∴f（x）=2sin（2x+）．第14页（共14页） 故答案为．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题．　12．（4分）（2015秋•天津期末）函数y=lg（x2﹣1）的递增区间为　（1，+∞）　．【分析】根据对数的真数大于0求出函数的定义域，在此基础上研究真数，令t=x2﹣1，分别判断内层和外层函数的单调性，再结合复合函数的单调性法则，可得出原函数的单调增区间．【解答】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1，则函数的定义域是{x|x＞1或x＜﹣1}，令t=x2﹣1，则函数在（1，+∞）单调递增，∵y=lgt在定义域上单调递增，∴函数f（x）=lg（x2﹣1）的单调递增区间是（1，+∞），故答案为：（1，+∞）【点评】本题以对数函数模型为例，考查了同学们对复合函数单调性的掌握，解题时应该牢记复合函数单调性的法则：“同增异减”，注意需要先求出函数的定义域．　13．（4分）（2014•天津一模）如图，边长为l的菱形ABCD中，∠DAB=60°，，则=　　．【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，可得A、B、C、D各点的坐标，结合题中数据和等式，可得向量、的坐标，最后用向量数量积的坐标公式，可算出的值．【解答】解：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系∵菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，∴D（cos60°，sin60°），即D（，），C（，）∵，∴M为CD的中点，得=（+）=（2+）=（1，）又∵，∴=+=（，）∴=1×+×=故答案为：第14页（共14页） 【点评】本题在含有60度角的菱形中，计算向量的数量积，着重考查了向量的数量积坐标运算和向量在平面几何中的应用等知识，属于基础题．　14．（4分）（2015秋•天津期末）已知f（x）是奇函数，满足f（x+2）=﹣f（x），f（1）=2，则f（2015）+f（2016）=　﹣2　．【分析】根据f（x+2）=﹣f（x）便可得到f（x）是周期为4的周期函数，从而可以得出f（2015）+f（2016）=f（﹣1）+f（0），而根据f（x）为奇函数便可求出f（﹣1）=﹣2，f（0）=0，这样即可得出f（2015）+f（2016）的值．【解答】解：f（x）=﹣f（x+2）=f（x+4）；∴f（x）是周期为4的周期函数；∴f（2015）+f（2016）=f（﹣1+504×4）+f（0+504×4）=f（﹣1）+f（0）；∵f（x）是奇函数；∴f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2；∴f（2015）+f（2016）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查周期函数的定义，以及奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．　三、解答题（共5小题，满分64分）15．（12分）（2016春•西藏期末）已知，θ是第二象限角，求：（1）tanθ的值；（2）的值．【分析】（1）依题意，利用同角三角函数间的关系式可求得cosθ，继而可得tanθ的值；（2）由（1）中，cosθ=﹣可求得sin2θ与cos2θ的值，再利用两角差的余弦计算可得的值．【解答】解：（1）∵，且θ是第二象限角，∴，∴…（4分）第14页（共14页） （2），，∴=…（12分）【点评】本题考查同角三角函数间的关系式及两角差的余弦公式的应用，属于基础题．　16．（12分）（2015秋•天津期末）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x+2a（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当时，f（x）的最小值为0，求f（x）的最大值．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=sin（2x+）+2a，由，即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由，得，利用正弦函数的图象和性质可得，由f（x）的最小值为0，解得a的值，即可求得f（x）的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵．…（4分）∴由，得，∴f（x）的单调递增区间为：．…（8分）（2）由，得，故．由f（x）的最小值为0，得，解得．故f（x）的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．　第14页（共14页） 17．（12分）（2015秋•天津期末）已知f（x）=（a＞0）是定义在R上的偶函数，（1）求实数a的值；（2）判断并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性；（3）若关于x的不等式f（x）﹣m2+m≥0的解集为R，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．（2）根据函数单调性的定义进行判断和证明．（3）根据函数单调性的性质，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）即+=．∴=a（ex﹣e﹣x），∵（ex﹣e﹣x）≠0，∴a=，即a=±1．而a＞0，∴a=1，∴f（x）=ex+e﹣x．…（4分）（2）函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增的．证明：任取x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣﹣=（﹣）•，∵x1，x2∈[0，+∞）且x1＜x2，∴﹣＜0•＞1•∴（﹣）•＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．…（9分）（3）由题意，m2﹣m≤f（x）在x∈R上恒成立，则只需m2﹣m≤fmin（x）∵f（x）为偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴f（x）的最小值为fmin（x）=f（0）=2则有m2﹣m≤2，因此m∈[﹣1，2]．…（12分）第14页（共14页） 【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法以及转化法是解决本题的关键．综合考查函数的性质．　18．（14分）（2015秋•天津期末）已知函数f（x）=，其中向量，，ω＞0，且f（x）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的最小值，并求出相应的x的取值集合；（3）将f（x）的图象向左平移φ个单位，所得图象关于点对称，求φ的最小正值．【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算及辅助角公式可得f（x）=2sin（ωx+），由正弦函数的周期公式可求得ω的值；（2）利用正弦函数的性质可求得f（x）的最小值，及相应的x的取值集合；（3）依题意，可得f（x+φ）=2sin（2x+2φ+），再由图象关于点对称，可得，从而可求φ的最小正值．【解答】解：（1）由已知得：f（x）=sinωx﹣2sin2+1=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）…（4分）因为f（x）的最小正周期为π，所以ω=2…（6分）（2）因为，所以f（x）最小值为﹣2，此时满足，则，因此x的取值集合为…（10分）（3），由题意得，，所以φ得最小值．…（14分）【点评】本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，平面向量的数量积的坐标运算及辅助角公式，y考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象变换，属于中档题．　19．（14分）（2015秋•天津期末）已知函数，其中x∈（﹣4，4）（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）在（﹣4，4）上的单调性；第14页（共14页） （3）是否存在这样的负实数k，使f（k﹣cosθ）+f（cos2θ﹣k2）≥0对一切θ∈R恒成立，若存在，试求出k取值的集合；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据函数单调性定义进行判断．（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（1）∵，∴f（x）是奇函数．…（4分）（2）任取=，∵16+4（x2﹣x1）﹣x1x2＞16﹣4（x2﹣x1）﹣x1x2＞0，∴∴f（x）在（﹣4，4）上的减函数；…（8分）（3）∵f（k﹣cosθ）≥﹣f（cos2θ﹣k2）=f（k2﹣cos2θ），∵f（x）是（﹣4，4）上的减函数对θ∈R恒成立由k﹣cosθ≤k2﹣cos2θ对θ∈R恒成立得：k﹣k2≤cosθ﹣cos2θ对θ∈R恒成立令，由﹣4＜k﹣cosθ＜4对θ∈R恒成立得：﹣3＜k＜3由﹣4＜cos2θ﹣k2＜4对θ∈R恒成立得：﹣2＜k＜2即综上所得：﹣2＜k≤﹣1所以存在这样的k其范围为﹣2＜k≤﹣1…（14分）【点评】本题主要考查不等式恒成立以及函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．　第14页（共14页）