2016年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

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2015-2016学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U二{1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,4,6},N={1,4,5},贝肝1,5}等于（）A.MUNB.MnNC.（CuM）nND.MnCuN【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合.【分析】根据1、5GM,而且A显然不符合条件，从而得出结论.【解答】解：Tl、5GM,故排除B、D,A显然不符合条件，故选：C.【点评】本题主要考查元素与集合的关系判定，两个集合的交集、补集运算，属于基础题.fx"2.若{bn}满足约束条件,则z=x+2y的最小值为（）lx*y-4<0A.3B.4C.7D.2【考点】简单线性规划.【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件作出可行域如图，|xty-4<0联立严1一，解得A（1,1）,lx-y=0化目标函数z二x+2y为y二-2*1rti图可知,当直线y=・討过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3. 故选：A.【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是屮档题.1.执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A.2B.C.1D.-1【考点】程序框图.【专题】计算题；图表型；归纳法；算法和程序框图.【分析】框图首先给变量S,k赋值S=2,k=l,然后判断k<2016是否成立，成立则执行否则跳出循环，输出S,然后依次判断执行，由执行结果看出，S的值呈周期出1-S现，根据最后当"2015时算法结束可求得S的值.【解答】解：框图首先给变量S,k赋值S=2,k=l・判断K2016,判断2<2016,判断3<2016,执彳亍S=―=一=-1,k=l+l=2；1-2执行S=Ki厂z执行s==2,k=3+1=4；14判断4<2016,执行s二■一・1,k二4+1二5；1-2程序依次执行，由上看出，程序每循环3次S的值重复出现1次.而由框图看出,当k=2015时还满足判断框中的条件,执行循环,当k=2016时，跳出循环.又2015=671x3+2.所以当计算出"2015时，算出的S的值为.此时2016不满足2016<2016,跳出循环，输出S的值为. 故选：B.【点评】本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题.1.如图，点A,B,C是圆O上的点，且AB=2,BC=麻，ZCAB=120°,则ZAOB对应的劣弧长为（）CA.nB.—C.亶兀D.—322【考点】圆周角定理.【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明.【分析】由正弦定理求出sinZACB二亶，从而ZAOB=—,进而OB二逍，由此能求U_iZAOB22对应的劣弧长.【解答】解：由正弦定理知：AB_BC2sinZACBsin/CABsinZACB••sinZACB二经卿二=迥，・・nV62AZAOB=—t・・・OB=d，2AZAOB对应的劣弧长：—X2WXV2二区•42故选：C.【点评】本题考查劣弧长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用.2.在ZViBC屮，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cosA=,b=2,而积S=3,则&为（）A.3^SB.V13C.V2LD.V17【考点】正弦定理.【专题】方程思想；综合法；解三角形.【分析】由同角三角函数基本关系可得sinA,再由面积公式可得c值，由余弦定理可得.【解答】解：在△ABC中cosA二，sinA=-cos2A=**•*b=2,面积S=3,••-S=bcsinA,A3=x2cx,解得c=5,・••由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,=b2+c2-2bccosA=13,即a=V13-故选：A.【点评】本题考查正余眩定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题. 1.给出下列命题:①若a,b,m都是正数，且则a0,则f(1)ab+am,即bm>am,则b>a,即a0,则f(1)0,但f(1)=f(2),故②错误;③命题TxGR,x2-2x+1<0"的否定是VxeR,x2-2x+1>0,•/(x-1)2>0恒成立，故③正确；④若"|x|Wl,且|y|Sl",则・10)与抛物线y2=2px(p>0)的交点为：A、B,A、B连线经过抛物线的焦点F,且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为()A.V2B.2C.3D.V2+l【考点】双曲线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由已知条件推导出|AB|=2p=2b,从而得到A(上.b)，由此能求出双曲线的离心率.2与抛物线y2=2px(p>0)的交点为:【解答】解：.••双曲线刍■辛L(aX)>b»)A、B,A、B连线经过抛物线的焦点F,且线段AB的反等于双曲线的虚轴反,/•|AB|=2p=2b,即p=b, 2/.A(bkk护Ak)代入双曲纬(a>0>b>Q)整理，得：b2=8a2,故选：C・【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练常握双曲线、抛物线的简单性质.8.已知定义在R上的函数，当x曰0,2]时,f(x)=8(1-|x-1|),且对任意的实数x€[2”-2,2n+1-2](nGN*,且n》2),都有f(x)=—f(—-1),若方程f(x)=|logax|W且仅有四个实数解，则实数"的取值范围为()A.V10)B.t/2>VlOlc.(2,10)D.[2,10]【考点】根的存在性及根的个数判断.【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用.【分析】由f(x)=|logax|,分别作出函数f(X)和y=|logax|的图象,利用数形结合即可得到结论.【解答】解：当x6[0,2]时,f(x)=8(1-|x-1|),当n=2时，xG[2,6],此时-1曰0,2],则f(x)=f(・1)=x8(1・|・1・1|)=4(1・|・2|),当n=3时，xG[6,14],此时・1曰2,6],则f(x)=f(・1)=x4(1・|・|)=2(1・|・|),分别作出函数f(x)和y=|logax|的图象,若OVaVl,则此时两个函数图象只有1个交点，不满足条件.若a>l,在(0,1)上两个函数有一个交点，要使方程f(x)=|logax|有且仅有四个实数解，则等价为当X>1时，两个函数有3个交点，由图象知当对数函数图象经过A时，两个图彖只有2个交点，当图彖经过点B时，两个函数有4个交点，则耍使两个函数有3个交点，则对数函数图彖必须在A点以下，B点以上，・.・f(4)=4,f(10)=2,/.A(4,2),B(10,2),flogM4l, •••VlVavViS，故则a的取值范围为是Vio^故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数零点和方程之间的关系，将条件转化为两个函数交点问题，利用数形结合是解决本题的关键.综合性较强，有一点的难度.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分•把答案填在答题卡中的相应横线上）9.若复数兰二學（b€R>i为虚数单拉）的实部和虚部互为相反数，贝'Jb=_14*213【考点】复数代数形式的乘除运算.【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部和虚部互为相反数求得b值.【解勺解.二（2-2b）-（bH）il«i"（lWi）-S由题意可得:2-2b=b+4,解得：b二-M.3故答案为：-虽3【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.10.如果（3*-寸言）11的展开式中各项系数之和为128,则展开式中占的系数是」_【考点】二项式系数的性质.【专题】计算题；二项式定理.【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求岀第叶1项，令x的指数为・3得到展开式中吕的系数.【解答】解：令X=1得展开式的各项系数和为2"A2n=128解得n=711展开式的通项为A+i二 令7-鱼=-3,解得r=63.••展开式中A的系数为3C76=21X"故答案为：21.【点评】木题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.10.如图，函数y二x?与y二kx(k>0)的图彖所围成的阴影部分的面积为，贝Ok二3【考点】定积分.【专题】计算题.【分析】先联立两个解析式解方程，得到积分区间，然后利用积分的方法表示出阴影部分面积让英等于，列出关于k的方程，求出解即可得到k的值.【解答】解：直线方程与抛物线方程联立解得x=0,x=k,得到积分区间为[0,k],由题意得：J()k(kx-x2)dx=(x2即k3=27,解得k=3.故答案为：3【点评】此题是一道基础题，要求学生会利用积分求平面图形的面积.11.一个儿何体的三视图如图，则该儿何体的表面积为15+近・【专题】空间位置关系与距离.【分析】由已知中的三视图可得该几何体为以正视图为底血的棱柱，棱柱的高为1,进而根据柱体的表面积公式得到答案.【解答】解：rti己知中的三视图可得该几何体为：以正视图为底面的棱柱；高为1,••儿何体的表面积为：2(1+1+1+)+(8+^2)=15+{^.故答案为：15+爲. 【点评】木题考查的知识点为：由三视图求表面积，其屮根据已知分析出儿何体的形状是解答的关键.13.圆0中，弦*»=2>则Id^BC的值为—.【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用.【分析】过点0作0D丄BC交BC于点D,连接AD.则D为BC的中点，OD-DC=O.*D=|（AC4-AB）又玄二而而BC=iic-M即可得出【解答】解：如图所示，过点O作OD丄BC交BC于点D,连接AD.则D为BC的中点，OD-BC=O.（ACI-AB）又丘刁而BC=ic-AB£•AD-BC=（ADtDO）•BC=•BC=-|（KfAB>■AB）专（»2"«2）C52-2a）=|故答案为：.【点评】本题考查了三角形外心性质、向量是三角形法则、平行四边形法则、数量积运算,考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14.已知实数a,b,c满足a2+b2=c2,少0,则」一的取值范围为[-亜.亜]・n-2c—L33J—【考点】基本不等式.【专题】不等式的解法及应用.sinO表示点P（2,0）与圆x2+y2=l上的点连线【分析】实数a,b,c满足a2+b2=c2,chO,化为（皀）（―）*二1,令=cos0,=sin0,ee[0,2tO•可得k二一E_二―a~2ca_g的在的斜率.利用直线与圆的位置关系即可得出.【解答】解：・・•实数a,b,c满足a2+b2=c2,WO,令=cos0,=sin0,8曰0，2n). sinO—s—,表示点P（2,0）与圆x'+yJl上的点连线的直线的斜率.cosB-2设直线1：y=k(x-2),［哼爭故答案为：［-【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题（本大题6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）14.己知函数f（x）=2cos2u）x+2V3sinu）xcosu）x-1,且f（x）的周期为2.（I）当xGt--.丄」时，求f（X）的最值;22（II）若f（JL2兀=|,求8S（-^L-U）的值.【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象.【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质.【分析】（I）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（X）=2sin（2u）x+—）,由6T=2,利用周期公式可求0），由可得范围-函数的图象和性质可得解f（X）的最值；=&in,利用正弦IT6,解得小由题意可得冷込5•邸・6-#nitsin<-26r=|，利用诱导公式可求cos（手-号）的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解88（空-u）的值.3【解答】（本题满分为13分）解：（1）・.・fCx）=cos2<»<=Zsin（ZWxt—）,…（1分）6VT=2,JfijJL…(2分)2 ••f（x）=2sin（九r+¥），（3分）5：•■号S汁辛《兀・・・-亨Ji（兀卅辛）＜1...（4分）・・・-VS＜lisin0（5分）6（6分）当X=■弓时，f（X）有最小值-更当1=|时，f（X）有最大值2.（II）由r（―）亠，2W4所以&Ln（兀吩*；），…（8分）违）8［手-砖烤）］沁（于垮）...（10分）所以sin煜年）而88I号所以88（警-3=COS（＞（y-y）］=&03®碍-号）"1（丄分）即8S（号・U）=asina（号・i=--g（13分）【点评】本题主耍考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期公式，正弦函数的图象和性质，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值屮的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.14.在等差数列｛如｝中，Sn为其前n项和,已32=2,S5=15.公比为2的等比数列｛"｝满足b2+b4=60.（I）求数列国】｝和｛bn｝的通项公式；（II）设C三5,求数列｛“｝的前n项和Tn.11ba【考点】数列递推式；数列的求和.【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列.【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用等比数列的通项公式及英前n项和公式、“错位相减法〃即可得出.【解答】解：（1）设等差数列｛如｝的公差为＜1,由a2=2,S5=15,&l*d=2隔导L5 解得$广1,ld=l•an=l+(n-1)=n.•・•公比为2的等比数列｛bn｝满足b2+b4=60.・・圻(»23)=60,解得bi=6,.•.bn=6x2nl=3x2n.(II)c旦二_^二亠nS3X2"吧令R寺冷说两式作差得:/.Rn=2-吃.2"故Tn二（2-—）・2n【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法〃，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14.如图，在三棱锥S・ABC屮，SA丄底而ABC,AC=AB=SA=2,AC丄AB,D,E分别是AC,BC的中点，F在SE±,且SF=2FE.（1）求证：AF丄平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G,使二面角G-AF-E的大小为30。？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由. 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.【专题】空间位置关系与距离；空间角.【分析】（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可;（2）抓住两点找到问题的求解方向：一是点G的预设位置，二是二面角G-AF-E的位置,计算即可.ss=Vs所以【解答】（1）证明：由AC=AB=SA=2,AC1AB,E是BC的屮点，得因为SA丄底面ABC,所以SA丄AE.在RtASAE中,因此ae2=ef«se,又因为ZAEF=ZAES,所以△efa^Aeas,则ZAFE=ZSAE=90°,即AF1SE.因为SA丄底面ABC,所以SA丄BC,又BC丄AE,所以BC丄底面SAE,则BC丄AF.又SEnBC=E,所以AF丄平面SBC.（2）结论：在线段上DE上存在点G使二面角G・AF-E的大小为30。，此时DG二.理由如下：假设满足条件的点G存在，并设DG=t.过点G作GM丄AE交AE于点M,又由SA丄GM,AEcSA二A,得GM丄平面SAE.作MN丄AF交AF于点N,连结NG,贝ljAF丄NG.于是ZGNM为二面角G-AF・E的平面角,即ZGNM二30。，由此可得由MN//EF,得趕,™雲(in)(1H)在RtAGMN屮，MG=MNtan30°, 于是满足条件的点G存在，且【点评】本题考查空间儿何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题.14.椭圆C：弓g=1(a>b>0)的焦距为4,且以双曲线召-x2=l的实轴为短轴,斜率为k的直线1经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A、B.(I)求椭圆C的标准方程；(II)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(I)求得椭圆的c=2,由双曲线的性质可得b=2,由a,b,c的关系，可得a,进而得到椭圆的方程；(II)设直线1方程：y二kx+1,A(xi，yi),B(X2，y2)，代入椭圆方程，运用韦达定理，由题意可得右焦点F在圆内部，即为运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围.【解答】解：(I)J椭圆的焦距为4,・・・c=2,又以双曲线疋-x2=1的实轴为短轴，4・・b=2‘b'+c临二2•••椭圆的标准方程为(II)设直线1方程：y=kx+l,A(xi，yi),B(x?,y2)， y=kx+l由彳v2v2得(l+2k~)x+4kx-6=0,・丄-4k・6..X]+X2=，X[X2，lttkz1*2kz由（1）知右焦点F坐标为（2,0）,・・•右焦点F在圆内部，・••亦・五<0,（xi-2）（X2-2）+yiy2<0,即X1X2-2（X1+X2）+4+kXiX2+k（X1+X2）+1<0,：•dna）•宀a-2）•二”T<0,l+2kzL+2kzL+2kzAk<.【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆和双曲线的性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题.14.已知数列鬲｝满足ai=l,an+i=2an+（-1）n（neN*）.（1）若bn=a2n-1-，求证：数列｛"｝是等比数列并求其通项公式;（2）求数列｛如｝的通项公式；（3）求证：丄+-L+...+丄V3.色1an【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质；数列递推式.即可证明数列【专题】等差数列与等比数列.【分析】（1）利用已知递推关系式推出a2n+i=4a2n-i-1，然后证明｛"｝是等比数列，即可求其通项公式；（2）利用（1）两个数列的关系式，通过n为奇数与偶数求数列｛如｝的通项公式；（3）通过n为奇数与偶数分别求解丄+丄+...+-1的和，然后判断与3的大小关系即可.・a1a2ar.【解答】（本小题满分15分）解：⑴32tt|_j=2aa3l+（~1）勿=2[2恤-计（-1）加1]+1=4知-1一1，住所以｛"｝是首项为，公比为4的等比数列，且（5分） （2）由（1）可知电^一],...（7分）所以％吉*1）占（2M）.(n=2k)(ri=2k-l)（10分）⑶％=4•宀孝叫・迸・产弋L宀？|3%丹-比2&-13X（2血+右1）丹^屹加乜孤-丹7-13X（汎严1）严（2气庐7）严“气疔~严1•丹a|®2a3°<<3犒卄儘）当n=2k・1时,<（丄4丄）+辽4丄）尸・十（1I1）<3...(15分)+...+^^<3.【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，前n项和的求法，数列与不等式的关系，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力.14.已知函数h（x）=-2ax+lnx.（1）当a=l时，求h（x）在（2,h（2））处的切线方程；（2）令f（x）=x2+h（x）已知函数f（x）有两个极值点xi，X2，Jlx]・X2>,求实数a的取值范围； (3)在(2)的条件下，若存在x()曰1+亶，21,使不等式f(x0)+ln(a+1)>m(a2-1)2-(a+l)+21n2对任意a(取值范围内的值)恒成立，求实数m的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值.【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的概念及应用.【分析】(1)当a=l时，h(x)=-2x+lnx,IV(x)=-2+,求出切线斜率、切点坐标，即可求h(x)在(2,h(2))处的切线方程；(2)对函数求导，由题意可得『(x)=0有两个不等式实数根X］、x2,且X|・X2>,根据方程的根与系数关系建立关于a的不等式，从而可求a的范围(3)由(2)中a的范围可判断f(x)在(0,X［),(xi，X2),(X2，+°°)上的单调性及X2=l+a可得f(X)在［1+亶，2］单调递增，从而可求f(x)max=f(2),由已知整理可得22不等式In(a+1)-ma2-a+m-ln2+l>0对任意的a(10),X令fz(x)=0可得ax2・2ax+l=0x4a2■4a>0解得a的取值范M=(1,2)....(6分)而f(x)在(0,X1)上递增，在(XI，X2)上递减，在(X2，+8)上递增Vlm(a2-1)2成乂，等价于不等式■2a+ln2+ln(a+1)>m(a2-1)-(a+1)+21n2恒成立 即不等式In(a+1)-ma2-a+m-ln2+l>0对任意的a(l1，即-0不能恒成立；若.)<1,即】讴■时，贝(“)在(1,2)上单调递增,•'•g(a)>g(1)二0恒成立，/•m的取值范围为(-°°,-].【点评】本题主要考查了函数的导数的应用：函数的导数在求解函数的极值、函数的单调性及函数的最值中的应用，要注意分类讨论思想及构造转化思想的应用.