常用的参数曲面

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1、六、Bezier曲面基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。1．定义   设为个空间点列，则次张量积形式的Bezier曲面定义为：其中，是Bernstein基函数。依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。Bezier曲面的矩阵表示式是：在一般实际应用中，不大于4。2．性质   除变差减小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面：（1）Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即，

2、，，。（2）Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且P00P10P01、、和（图打上斜线的三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的顶点及相邻两排顶点有关。（3）几何不变性。（4）对称性。（5）凸包性。3．Bezier曲面片的拼接   如图所示，设两张m×n次Bezier曲面片分别由控制顶点和定义。如果要求两曲面片达到连续，则它们有公共的边界，即：于是有。如果又要求沿该公共边界达到连续，则两曲面片在该边界上有公共的切平面，因此曲面的法向应当是跨界连续的，

3、即：   下面来研究满足这个方程的两种方法。（1）鉴于式，最简单的取解是：这相当于要求合成曲面上v为常数的所有曲线，在跨界时有切向的连续性。为了保证等式两边关于v的多项式次数相同，必须取（一个正常数）。于是有：即。（2）方法一使得两张曲面片在边界达到连续时，只涉及曲面和的两列控制顶点，比较容易控制。用这种方法匹配合成的曲面的边界，u向和v向是光滑连续的。但实际上它的限制是苛刻的。为了构造合成曲面时有更大的灵活性，Bezier在1972年应用了更具普遍性的连续条件：这仅仅要求位于和所在的同一个平面内，也就是曲面片边界上相应点处的切平面，这样就有了大得多

4、的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不再连续了。   同样，为了保证等式两边关于v的多项式次数相同，须为任意正常数，是v的任意线性函数。4．Bezier曲面的deCasteljau生成算法Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法，可以推广到Bezier曲面的情形。若给定Bezier曲面特征网格的控制顶点和一对参数值（u0,v0），则递推公式为：或上面给出了确定Bezier曲面上一点的两种方案。当按第一种方案执行时，先以u参数值对控制网格u向的n+1个多边形执行曲线deCasteljau算法，m级递推后，得到沿v向由n+1个顶点构成的中

5、间多边形。再以v参数值对它执行曲线的deCasteljau算法，n级递推以后，得到一个，即所求曲面上的点。也可以按第二式方案执行，先以v参数值对控制网格沿v向的m+1个多边形执行n级递推，得沿u向由m+1个顶点构成的中间多边形。再以u参数值对它执行n级递推，得所求点。六、B样条曲面1．定义基于B样条曲线的定义和性质，可以得到B样条曲面的定义。给定个空间点列，则定义了次B样条曲面，和是k次和l次的B样条基函数，u和w为B样条基函数和的节点参数，由组成的空间网格称为B样条曲面的特征网格。上式也可以写成如下的矩阵形式：上式中r，s分别表示在u，w参数方向上

6、曲面片的个数。是某一个B样条曲面片的控制点编号。2．均匀双二次B样条曲面已知曲面的控制点，参数，且，，构造步骤是：a、沿向构造均匀二次B样条曲线，即有：经转置后：同上可得：，。b、再沿向构造均匀二次B样条曲线，即可得到均匀二次B样条曲面：简记为：。3．均匀双三次B样条曲面已知曲面的控制点，参数，且，，构造双三次B样条曲面的步骤同上述。a、沿向构造均匀三次B样条曲线，有：，，，b、再沿向构造均匀三次B样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的，当值由0到1连续变化，即形成均匀双三次B样条曲面。此时表达式为：，，六、NURBS曲面由双参数变量分段

7、有理多项式定义的NURBS曲面是：这里控制顶点呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网格。是与顶点联系的权因子，规定四角顶点处用正权因子即,其余；和分别为向次和向l次的规范B样条基。它们分别由向与向的节点矢量决定。