关于抽象函数问题的解法

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1、抽象函数问题有关解法一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知,求.解：设,则∴∴2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知，求解：∵又∵∴，(

2、

3、≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知二次实函数，且+2+4,求.解:设=，则=比较系数得∴4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,

4、求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当>0时,,求解:∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。∵->0,∴,∵为奇函数，∴∴当<0时∴例5．一已知为偶函数，为奇函数，且有+，求,.解：∵为偶函数，为奇函数，∴,,不妨用-代换+=………①中的,∴即－……②显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求解：∵的定义域为N，取=1,则有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利

5、用函数性质，解的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：2.确定参数的取值范围例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。解：3.解不定式的有关题目例9：如果=对任意的有,比较的大小解：五类抽象函数解法　　1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。分析：例2、已知函数f

6、（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。分析：例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

7、例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。分析：例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。试问

8、：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。5、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。抽象函数具有的性质特殊初等函数或,且或若的定义域为,则,且且抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体

9、现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1.已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。解：例2.已知函数的定义域是，求函数的定义域。解二、求值问题例3.已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。解：三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：四、解析式问题例5.设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的

10、解析式。解：五、单调性问题例6.设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。证明：六、奇偶性问题例7.已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。解：七、对称性问题例8.已知函数满足，求的值。解：八、网罗综合问题例9.定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当