抽象函数的解法探究

《抽象函数的解法探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、抽象函数的解法探究【摘要】由于抽象函数表现形式的抽象性，其隐含的信息深藏不露，很多学生难以掀开其“神秘的面纱”，解题时感到无从下手，使得这类问题是函数教学的难点之一.本文从五方面探究解抽象函数的方法和技巧.【关键词】抽象函数；赋值：具体模型；图象；构造抽象函数的背景是学牛熟悉的指数函数、对数函数、幕函数等•抽彖函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，对以考查类比猜想，逻辑推理能力、抽象思维能力、探究能力和创新精神,故是高考命题青睐的题型，常在考题中出现.对于抽象函数题，虽然“抽象”，有摸不着的感觉,但是，根据题1=1所给的条件特征，还是有一定的对应

2、解法准则可循.这是破解这类题的关键，下面举例说明.1根据函数奇偶性、单调性、周期工+3例1.1设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x)=f(—)的所有xI4"x之和为.解:Vf(x)是偶函数,Af(x)=f(-x)=f(

3、x

4、).乂+3I+3丨由f(x)=f(;不),可得f(

5、xl)=f(詁)，又当x>0时,f(x)是连续单调函数，故卜

6、・•・x2+3x-3=o或x?+5x+3二0.由韦达定理,可得满足条件的所冇xZ和为-3-5=-&例1.2设偶函数f(x)在[0,+oo)上为减函数,求不等式f(x-l)>f(2x+l)的

7、解集.解：・・・f(x)是偶函数,・・・f(x-l)>f(2x+1)化为f(Ix-1

8、)>f(I2x+l

9、).Tf(x)在[0,+8)上为减函数，AIx-1

10、

11、,・・•原不等式的解集为(-8,-2)U(0,+8).V-L3评析：在两个例题的解答中,利用了偶函数的定义f(-x)=f(x)=f(

12、x

13、),避免了对X与一一，X+4X-1与2x+l符号的讨论.同时也利川函数的单调性定义，去掉表示函数对应法则的符号f,继而解方程或不等式.例1.3已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[l—f(x)]=l+f(x),f(2)=2,求f(201

14、2)的值.解：若f(x)=l,则已知等式左边等于0,右边等于2,故f(x)Hl.•••/仕+2)=l+/(x)1-/仕)fd+4)=l+/(x+2)=一_1_'l-/(x+2)f(x)/(x+8)=/(x).故函数f(x)的周期为8,从而/(20⑵=/(251x8+4)=/(4)=1+/(2)=-3.1-/(2)评析：已知x二2的函数值，求x二2012的函数值，从2到2012差距可大，显然应从函数周期方面思考,找出f(2012)与f(2)关系.2赋值法例2.1已知函数f(x)的定义域为R对任意x,yW(・l,l),都冇/(兀)_于()，)=/(込二与，判

15、断函-xy数f(x)的奇偶性.解:在/⑴-/($)=/(兰二上)屮，令X二y二0,得f(0)=0；令X二0,得f(0)-f(y)=f(-y),所以1一xyf(-y)=-f(y).且函数f(x)的定义域为(-1,1)是关于原点对称,故函数f(x)是奇函数.例2.2已知函数f(x)的定义域是xWR且xHO,对任意不等于零的实数x,y,都有f(x・y)二f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性.解：在f(x•y)=f(x)+f(y)中，赋值x=-l,y=l,则f(-1Xl)=f(-l)+f(1),r.f(l)=O.赋值x=y=-l,则f⑴=f(-l)+

16、f(-l),Af(-1)=0.赋值y=T,则f(-x)=f(x)+f(-l),・・・f(-x)二f(x).・・・f(x)为偶函数.评析：根据已知条件以及所耍达到的目标，对变量恰当赋值.3根据函数的具体模型3.1一次函数模型例3.1已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当xVO时,f(x)<0,f(l)=2,求f(x)在区间[-1,3]上的取值范围.分析：依题设可知，函数f(x)的具体模型是一•次函数y二2x.根据一•次函数的性质可得到解题思路：判断函数f(x)的单调性和奇偶性.解：设xi,xgGR,且xi

17、x2<0,：•当xVO时,f(x)<0,f(x)~X2)<0.:.f(Xl)=f[x2+(Xl-X2)]=f(X2)+f(X1-X2)

18、]上的取值范围是[-2,6].3.2对数函数模型例3.2设f(x)是定义在(0,