不定积分典型例题

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1、不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式.1例1、求(1−)xxdx∫2x3571−4解原式＝(44)44∫x−xdx=x+4x+C73xe+1例2、求dx∫xe+12xx12xx解原式＝∫(e−e+1)dx=e−e+x+C21例3、求∫22dxsinxcosx22sinx+cosx11解原式=dx=dx+dx=tanx−cotx+C∫∫222∫2sinxcosxcosxsinx2x例4、∫cosdx21+cosxx+sinx解原式＝∫dx=+C222

2、x例5、dx∫21+x2x+1−11解原式=dx=(1−)dx=x−arctanx+C∫2∫21+x1+x注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)1凑成令ϕ(x)=u求出还原∫f(x)dx=∫g[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=∫g(u)du=G(u)+C=G[ϕ(x)]+C在上述过程中，关键的一步是从被积函数f(x)中选取适当的部分作为ϕ'(x)，与dx一起凑成ϕ(x)的微分dϕ(x)=du且∫g(u)du易求.tanx例1、求∫dxcosx3sinx−dcosx−2解原式＝dx=−(cosx)2dcosx=+C∫=∫

3、∫cosxcosxcosxcosxcosxarcsinx例2、求∫dx2x−xarcsinx12arcsinx解原式=∫⋅dx=∫d(x)1−xx1−(x)22=2∫arcsinxd(arcsinx)=(arcsinx)+C1注dx=2d(x)x1−x例3、求∫dx29−4x11d(2x)12−22解原式=∫+∫(9−4x)d(9−4x)232−(2x)282d(x)13121212=∫+9−4x=arcsinx+9−4x+C22242341−(x)322x例4、求∫tan1+x⋅dx21+x222解原式＝∫tan1+xd1+x=−ln

4、cos1+x

5、+Cx例5、

6、求∫dx2x−x−12x(x+x−1)22解原式＝dx=xdx+xx−1dx∫22∫∫x−(x−1)333x122x122=+∫x−1d(x−1)=+(x−1)+C32331例6、求∫dx1+tanxcosx1cosx−sinx解原式＝∫dx=∫(1+)dxsinx+cosx2cosx+sinx1⎡1⎤1=⎢x+∫d(cosx+sinx)⎥=(x+ln

7、cosx+sinx

8、)+C2⎣cosx+sinx⎦211+x例7、求lndx∫21−x1−x11+x1+x121+x解原式＝∫lnd(ln)=ln+C21−x1−x41−x1例8、求dx∫xe+1xxx1+e−ee

9、解原式＝dx=dx−dx∫x∫∫xe+11+e1xx=dx−d(1+e)=x−ln(1+e)+C∫∫x1+e31例9、求dx∫x−xe+exe1xx解原式＝dx=d(e)=arctane+C∫2x∫x2e+11+(e)sinx例10、求∫dx1+sinx11−sinx解原式＝(1−)dx=dx−dx∫∫∫21+sinxcosx1sinx=x−dx+dx=x−tanx+secx+C∫∫22cosxcosxdx例11、求∫x2−3lnx1−解原式=−x2dx∫(23ln)(ln)11−111=∫(2−3lnx)2(−)d(2−3lnx)=−⋅(2−3lnx)2+C33

10、1−+122=−2−3lnx+C31例12、求dx∫2222asinx+bcosx111a解原式＝d(tanx)=d(tanx)∫∫222abab+atanx2b1+(tanx)b1a=arctan(tanx)+Cabb4x+1例13、求dx∫6x+144222222x−x+1+x(x)−x+1x解原式＝dx=dx+dx∫6∫23∫32x+1(x)+1(x)111313=dx+dx=arctanx+arctanx+C∫∫2321+x31+(x)31例14、求dx∫8x(1+x)8871+x−x1x18解原式＝dx=dx−dx=ln

11、x

12、−ln(1+x)+C∫8∫∫

13、8x(1+x)x1+x83x−2例15、求dx∫2x−4x+523d(x−4x+5)1解原式＝+4dx∫∫222x−4x+5x−4x+532d(x−2)=ln

14、x−4x+5

15、+4∫22(x−2)+132=ln

16、x−4x+5

17、+4arctan(x−2)+C2注由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形1如dx的积分(将分母配方，再凑微分).∫2ax+bx+c22x例16、已知f(x−1)=ln，且f[ϕ(x)]=lnx，求ϕ(x)dx.2∫x−222x−1+1x+1解因为f(x−1)=ln，故f(x)=ln，又因为2x−1−1x−1ϕ(x)+1ϕ

18、(x)+1