[理学]不定积分典型例题.ppt

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1、常用微分公式例2.求解:例3.求解:例4.求f(x)=x2+1,x<0.解:F(x)=而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C1＝0，C2＝1，因此满足条件的函数为F(x)=故例5．例6．例7．例8．解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以已知当x=0时，y=1000，例9．某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此有C=1000，作业：P137：5(2)（5)(10)(15).例2.解：观察中间变量u=x2+1但u=x2+1的导数为u

2、=2x在被积函数中添加2个因子u因此例3.解:uuduu=(x)例4.解：能想出原函数的形式吗？记得这个公式吗？如何用这个公式？例5.求解：例6解：例7求解例8求解熟练以后就不需要进行转化了例9求解例11求解正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开放在微分号解例12求例13求例14求解例15求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例16求解利用积化和差公式，得解类似地可推出例17求[解]ò+xxdx1例18[解]dxxxò-4cos42sin]19[例[解]dxxxxò+ln12ln]21[例[

3、解]dxxexxxò++)1()1(]22[例例1解例2求解例3求解令注三角代换的目的是化掉根式.例4解例1求解令考虑到被积函数中的根号是困难所在，故例2解例3解例4解例5解配方3.倒数代换例1求令解例2求解令分母的次幂太高例3解例4解例1求积分解由万能公式例3求积分解（一）解（二）变形万能公式,令解（三）不用万能公式.结论万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.例4求积分解例5解例6解例7解利用恒等变换5双曲代换积分中为了化掉根式还可用双曲代换.令例3求积分解例4求积分解

4、若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为.例5求积分解令若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为u.例6求积分解例7求积分解复原法(回归法,循环法)!例7’解消去(超越函数)法!例8解递推关系可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分.例9解例10求积分解用分部积分法，当积分过程常要兼用换元法与分部积分法。例11求积分解[解]解两边同时对求导,得连用分部积分法解：同理可求不定积分例14.[解]例16解例17解则记把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数

5、法例1通分比较分子：代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2例4求积分解例6求积分解令例10求积分解令例11求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.例1例2三、其他典型例题解：解：（分子是分母的导数）凑导数法!!例3解：方法1例4例5ux=sin令被积函数为余弦的奇函数,采用正弦换元方法2本例也可以直接采用凑微分的方法例7例8例9解例10解例11解凑导数法!!例12解(倒代换,尽管可采用割换)例14解例15解凑整法例16解例18解例19解例20解凑导数法,双曲函数例21解例22解例23解