27.2与圆有关的位置关系

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点和圆的位置关系 学习目标1探索并了解点与圆的位置关系。2理解不在同一直线上的三个点确定一个圆。3了解三角形的外心、外接圆、内接三角形的概念。 自学指导快速自学教材P46---47页，思考下列问题1.点与圆的位置关系有几种？2.过一点可以画多少个圆？过两点可以画多少个圆？圆心在哪里？经过不在同一直线上三点可以画多少个圆？圆心在哪里？3.什么是三角形的外接圆、外心？什么是内接三角形？ 点与圆的位置关系请同学们在练习本上画一下OABC此时点A,B,C到圆心O的距离与半径r的关系?OAr练一练：若⊙O的直径是8cm，点A、B、C与圆心O的距离分别是4cm、3cm、5cm，则点A在⊙O（）；点B在⊙O（）；点C在⊙O（）。上内外 （1）作经过已知点A的圆，这样的圆你能做出多少个？（2）作经过已知点A、B的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？探究······ABA结论:过一点可以画无数个圆结论:所有经A,B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上 ．不在同一条直线上的三点确定一个圆．·COABl1l2(3)如图,作经过不在同一直线上的三点A、B、C的圆，这样的圆你能做出多少个？他们的圆心分布有什么特点？ 经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？?思考l2l1ABC 让我们一起来做练习1.任意画一个三角形,然后再画出经过三个顶点的圆我们的结论:经过三角形三个顶点可以画一个圆,并且只能画一个经过在三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,.三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边垂直平分线的交点 BACO完成以下填空：如图：⊙O是△ABC的圆，△ABC是⊙O的三角形，O是△ABC的心，它是的交点，到三角形的距离相等。外接内接外三角形三边垂直平分线三个顶点● BACO●想一想：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外心各在哪里？B●CABAC· 检测填空：1、已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的（）。2、已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足（）3、已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的（）内部0﹤r﹤5外部 判断：1、经过三点一定可以作圆。（）2、三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点。（）3、三角形的外心到三边的距离相等。（）×√× 拓展与提高某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等。请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这个位置呢？●●●BAC 一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 课堂小结通过本节的学习，你有什么收获？ 作业练　习1.     任意画一个三角形，然后再画这个三角形的外接圆.2.     随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明. 不一定四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能做不出一个圆.ABCDABCDABCDABCD 27.2直线和圆的位置关系练习小结定义 已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d,1)若d=4.5cm,则直线与圆;2)若d=6.5cm,则直线与圆;3)若d=8cm,则直线与圆.填空1: 已知⊙O的半径为5cm,圆心O与直线AB的距离为d,根据条件填写d的范围:1)若AB和⊙O相离,则;2)若AB和⊙O相切,则;填空2:d>5cmd=5cm0cm≤d<5cm3)若AB和⊙O相交,则. ⊙O的直径是6，直线l和⊙O相交，圆心O到直线l的距离是d，则d应满足()A．d＞6B．3＜d＜6C．0≤d＜3D．0≤d＜6选择:C 判断:(对的在括号内打“√”;错的打“×”)1.直线和圆有唯一一个公共点,则直线和圆相切.()2.圆心到直线的距离不等于半径,则直线与圆相交.()3.直线上一点到圆心的距离等于圆的半径,则直线与圆相切．()√×× 判断:(对的在括号内打“√”;错的打“×”)4.到圆心距离等于半径的直线是圆的切线.﹝﹞5.直线l上一点A到圆心O的距离大于半径,则直线l与⊙O相离.﹝﹞√× 已知∠AOB=300,M为OB上一点,且OM=5厘米,以M为圆心、以r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米；(2)r=4厘米；(3)r=2.51厘米． 直线与圆的位置关系公共点数目公共点名称直线名称数量特征直线和圆的三种位置关系相交相切相离210交点切点无割线切线无0≤dr主页 如图:公路MN和PQ在P处交汇,且∠QPN=300,点A处有一所中学,AP=160米,假设拖拉机行使时,周围100米以内会受到噪声的影响,已知拖拉机的速度为18km／h,那么学校会受到影响吗?如果会,受到影响的时间多长? 切线 问题1：下图中的直线l和⊙O是什么关系？相交相离相切（两个交点）（一个交点）（零个交点）d=r相切d∟ 问题2:如图，已知点A是⊙O上一点，过A作OA的垂线l，这样的直线有几条？直线l与⊙O的位置关系怎样？为什么？lAOdr特征一：直线l经过半径OA的外端点A特征二：直线l垂直于半径OAd=r相切 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。lAOOlAOlAOlAO判断下图直线l是否是⊙O的切线？并说明为什么。证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：①过半径外端②垂直于这条半径。 判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?有以下三种方法:1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。想一想 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。OABC例1C分析：欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上点C，若连结OC,则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥AB. 例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。OABC证明：如图，连结OC.∵OA=OB,CA=CB∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线 已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆O，求证：⊙O与AC相切例2：DCABO∟分析:欲证直线与圆相切，但直线与圆的交点不明确时，往往过圆心作这条直线的垂线段，再证明d=r即可E证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD∵OD是⊙O的半径∴AC是⊙O的切线。 小结例1与例2的证法有何不同?(1)如果直线与圆的交点明确,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。(2)如果直线与圆的交点不明确,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED例1、已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。例2、已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆O，求证：⊙O与AC相切 练习1、如图1，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。OBAC2、如图2,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP图1图2小结 证明：连结OP。∵AB=AC,∴∠B=∠C。∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C。∴OP∥AC。∵PE⊥AC，∴∠PEC=90°∴∠OPE=∠PEC=90°∴PE为⊙0的切线。如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。练习OABCEP 课堂小结1.判定切线的方法有哪些？直线l与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线2.常用的添辅助线方法⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）l是圆的切线l是圆的切线 ⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切。是非题：判断下列命题是否正确。（×）（×）（√）（√）（√） 已知△ABC内接于⊙O,直线EF过点A（1）如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是或。（2）如图2，AB为非直径弦，且∠CAE=∠B,求证：EF为⊙O的切线。FECBAOCBEFAO思考题图1图2EF⊥AB∠CAE=∠B