数学解题思想-分类思想

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1、数学解题思想——分类讨论思想杨相云引例：若关于x的函数y=(a+2)x-(2a-1)x+a-2的图像与坐标轴有两个交点，则a的值为____________.分类讨论就是指将要研究的数学对象按照一定的标准分为若干种不同情况，然后再逐一进行研究和求解的一种解题思想。一．问题涉及的定义、性质、定理等要求进行分类例1已知abc<0,则的值为__________.分析:由abc<0可得，a、b、c的符号有两正一负、三负两种情况，由此要进行分类讨论。例2解不等式分析：对于未知数的系数由参数构成时，我们要根据参数的取值范围进行谈论，本题要分k-1>0,k-1=

2、0,k-1<0三种情况讨论。例3关于x的方程有实数根，则k的值为___________.分析：这个方程没有确定是一元一次方程还是一元二次方程，因此对k的取值分k=0和k例4.若四个数据8，10，x，10的平均数与中位数相等，则x等于（）A．8B．12C．10或8D．8或12例5:某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每

3、亩蔬菜的工资是　140　元，小张应得的工资总额是　2800　元，此时，小李种植水果　10　亩，小李应得的报酬是　1500　元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．分析:（1）根据图象数据解答即可；（2）设z=kn+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）先求出20＜m≤30时y与m的函数关系式，再分①10＜m≤20时，10＜m≤20；②20＜m≤30时，0＜n≤10两种情况，根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解

4、．（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，∵函数图象经过点（10，160），（30，120），∴，解得，∴y=﹣2m+180，∵m+n=30，∴n=30﹣m，∴①当10＜m≤20时，10＜m≤20，w=m（﹣2m+180）+120n+300，=m（﹣2m+180）+120（30﹣m）+300，=﹣2m2+60m+3900，②当20＜m≤30时，0＜n≤10，w=m（﹣2m+180）+150n=m（﹣2m+180）+150（30﹣m），=﹣2m2+30m+4500，所以，w与m之间的函数关系式为w=．二．问题的条件或结论不确定性要进行分类例6一张

5、矩形桌子，砍掉一个角，还剩几个角？例8如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．分析:（1）根据网格结构，把△ABC向右平移后可使点P为三角形的内部的三个格点中的任意一个；（2）把△ABC绕点C顺时针旋转90°即可使点P在三角形内部．解：（1）平移后的三角形如图所示；（2）如图所示，旋转后的三角形如图所示．三．问题中几何图

6、形的位置或形状不确定要进行分类例9已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D,且,则△ABC的底角度数为（）A450B450或750C450或750或150D600例10射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm。动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出可取的一切值__________（单位：秒）分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种

7、情况：画出图形，结合图形求出即可；解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，A

8、P=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°