线线角、线面角的向量求法

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1、选修2-1空间向量与立体几何线线角、线面角的向量求法A．直线与直线所成的角向量求法知识点设直线，的夹角为，方向向量分别为、，则．注意：当向量的夹角为锐角或直角时，异面直线所成的角等于此时的向量夹角；当向量的夹角为钝角时，异面直线所成的角则是向量夹角的补角．例1（P118页第10题）如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是，，的中点．（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值．解：如图所示，以为原点，为单位长度建立空间直角坐标系．则，因为，，分别是，，的中点，所以，，．（1）依题意，，因为，所以，即．（2）依题意，因为，所以与所成角的余弦值为．例2在正三棱柱中，若，求异面直线与所成角的大小．解法一（

2、向量法）：因为，，又，，，，所以．所以，即与所成角为．解法二（坐标法）：取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，以为长度单位，则由，可知，，，．所以，，所以．即与所成的角为．自主体验1．教材P111A组第1题结果：（1）．（2）．4选修2-1空间向量与立体几何2．（119B组第1题）如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且．求：（1）的长；（2）直线与夹角的余弦值．解：（1）因为，所以．由已知得：，，，，所以，，，所以，即．（2）依题意得，，，所以．因为，，，所以，所以与夹角得余弦值为．3．（教材112第8题）边长为的正方形的中心为，过点作平面的垂线，在其上取点，使．

3、连接，，，，点是的中点，且满足．求直线与所成角的余弦值．解：取正方形中心为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．因为正方形的边长为，垂线段，所以，，，，，得，，．因为，即，所以，解得．所以，，因此所以．所以直线与所成角的余弦值为．B．线面角的向量求法知识点设直线与平面的夹角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则．例1（2008年海南）如图，已知点在正方体的对角线上，．（1）求与所成角的大小；4选修2-1空间向量与立体几何（2）求与平面所成角的大小．解：如图所示，以为原点，为单位长度建立空间直角坐标系．则，，连接，．在平面中，延长交于．设，由已知，由，可得．解得，所以．

4、（1）因为，所以，即与所成的角为．（2）平面的一个法向量是．因为，所以，可得与平面所成的角为．例2如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，，．求直线与平面所成的角的正弦值．解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设得，，，，．所以，，．设平面的一个法向量为，则，．所以，，即．设与平面所成的角为．则．所以直线与平面所成的角的正弦值为．自主体验（2014福建）在平面四边形中，，，．将沿折起，使得平面平面，如图．（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）过点在平面内作，如图．由（1）知平面，平面，平面，所

5、以，．以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意得，，，，，则，，4选修2-1空间向量与立体几何．设平面的法向量，则即取，得平面的一个法向量．设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．4