科学计算与数学建模第二章

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1、科学计算与数学建模中南大学数学科学与计算技术学院——城市供水量的预测模型求未知函数近似表达式的插值法2求插值多项式的Lagrange法3求插值多项式的Newton法45求插值多项式的改进算法6求函数近似表达式的拟合法1城市供水量的预测问题第2章城市供水量的预测模型——插值与拟合算法7城市供水量预测的简单方法2.1城市供水量的预测问题2.1.1实际问题与背景为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市7年用水量的历史记录，记录中给出了日期、每日

2、用水量（吨/日）。如何充分地利用这些数据建立数学模型，预测2007年1月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划。表2.1.1某城市7年日常用水量历史记录（万吨/日）日期2000010120000102……2006123020061231日用水量122.1790128.2410……150.40168148.2064表2.1.22000-2006年1月城市的总用水量（万吨/日）年份2000200120022003200420052006用水量4032．414186．02544296．98664374．8524435．23444505

3、．42744517．6993利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学模型来预测2007年1月份该城市的用水量。如果能建立该城市的日用水量随时间变化的函数关系，则用该函数来进行预测非常方便。但是这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么能否根据历史数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息求出其近似函数的常用方法有插值法和数据拟合。本章将介绍插值法和数据拟合，并用这两种方法给出该城市供水量进行预测。2.2求未知函数近似表达式的插值法2.2.1求函数近似表达式的必要性一般地，在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函

4、数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到该函数在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数作为的近似。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。定义2.2.1设函数在区间上

5、连续，且在个不同的点上分别取值，在一个性质优良、便于计算的函数类中，求一简单函数，使(2.2.1)而在其它点上作为的近似。称区间为插值区间，点为插值节点，称（2.2.1）为的插值条件，称函数类为插值函数类，称为函数在节点处的插值函数。求插值函数的方法称为插值法。插值函数类的取法不同，所求得的插值函数逼近的效果就不同，它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。在多项式插值中，求一次数不超过的代数多项式(2.2.2)使(2.2.3)其中为实数。满足插值

6、条件(2.2.3)的多项式(2.2.2)，称为函数的次插值值多项式。次插值多项式的几何意义：过曲线上的个点作一条次代数曲线作为曲线的近似，如图2.2.1所示。图2.2.12.2.2插值多项式存在唯一性与求插值多项式的解方程组方法由插值条件（2.2.3）知，的系数满足线性方程组由线性代数知，线性方程组的系数行列式是阶范德蒙（Vandermonde）行列式，且（2.2.4）因是区间上的不同点，上式右端乘积中的每一个因子，于是系数行列式不等于0，即方程组（2.2.4）的解存在且唯一。从而得出下面的结论：定理2.2.1若节点互不相同，则满足插值条件

7、（2.2.3）的次插值多项式（2.2.2）存在且唯一。在上一节里，不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（2.2.4）来确定其系数。但是，当未知数个数多时，这种做法的计算工作量大，不便于实际应用，Lagrange插值法就是一种简便的求法。2.3求插值多项式的Lagrange法2.3.1Lagrange插值基函数先考虑一下简单的插值问题：对节点中任意一点做一次多项式使它在该点上取值为1,而在其余点上取值为零,即（2.3.1）表明个点都是次多项式的零点，故可设其中为待定系数，由条件可得对应于每一节点都能求

8、出一个满足插值条件（2.3.1）的次插值多项式（2.3.2），这样，由（2.3.2）式可以求出个次插插多项式。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在个节点上的次基本插