科学计算与数学建模第二章

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1、计算方法电子教案中南大学数学科学学院应用数学与应用软件系1第二章插值法§1引言§2拉格朗日插值多项式§3牛顿插值多项式§4分段低次插值§5三次样条插值§6数值微分2§1引言1.1插值问题的提法在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常遇到这种情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态、甚至直接求出其3它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，

2、总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数P(x)作为的近似。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。4定义设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点上分别取值，在一个性质优良、便于计算的函数类φ中，求一简单函数p(x)，使而在其它点上，作为f(x)的近似。称区间为插值区间，点为插值节点，称（1.1）为f(x)的插值条件，称函数类φ为插值函数类，称p(x)为函数在(1.1)5节点处的插值函数。求插值函数p(x)的方法称为插值法。插

3、值函数类φ的取法不同，所求得的插值函数p(x)逼近f(x)的效果就不同它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n的代数多项式6(1.2)使其中为实数。满足插值条件(1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x)在节点处的n次插值值多项式。n次插值多项式的几何意义：过曲线y=f(x)上的n+1个点作一条n次代数曲线，作为曲线y=f(x)的近似，如图2-1。781.2插值多项式存在唯一性由插值条件（1.3）知，插值多项式的系数满足线

4、性方程组（1.4）由线性代数知，线性方程组的系数行列式（记为V）是n+1阶范德蒙（Vandermonde）行列式，且9因是区间上的不同点，上式右端乘积中的每一个因子，于是，方程组（1.4）的解存在且唯一。故有下面的结论：定理1若节点互不相同，则满足插值条件（1.3）的次插值多项式（1.2）存在且唯一。10§2拉格朗日插值多项式在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种简便的求法。2.1插值基函数先考虑一下简单的插值问题：对节点中任一点,作一n

5、次多项式,使它在该点上取值为1,而在其余点上取值为零,即（2.1）（2.1）表明n个点都是n次多项式的零点，故可设11其中为待定系数，由条件可得故(2.2)对应于每一节点，都能求出一个满足插值条件（2.1）的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插插多项式。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。122.2拉格朗日插值多项式利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值多项式（2.3）事实上，由于每个插值基函数都是n次多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同

6、时，根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点处的值为，因此，它就是待求的n次插值多项式。形如(2.3)的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记为（2.4)13作为的特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值公式即这是一个线性函数，用线性函数近似代替函数，在几何上就是通过曲线上两点作一直线近似代替曲线(见图2-2)，故两点插值又名线性插值。若令n=2，由（2.4）又可得常用的三点插值公式（2.5）（2.6）（2.7）))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL--

7、--+----+----=14这是一个二次函数，用二次函数近似代替函数，在几何上就是通过曲线上的三点，作一抛物线近似地代替曲线（图2-3），故三点插值(二次插值)。例1已知分别用线性插值和抛物插值求的值。x0y图2-215解因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得故用线性插值求得的近似值为图2-3yx016仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为将所得结果与的精确值10.7328…相比较，可以看出抛物插值的精确度较好。