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1、1.请适当给出和的具体数据，求人口增长的Logistic模型的解析解，即求，其中为固有增长率，为人口容量。问题的简述：本题要求给出适当的和的具体数据，求人口增长的Logistic模型的解析解。问题的分析：题目要求给出具体的和的数据，求解析解。Logistic模型考虑到自然资源、环境条件等因素对对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，其中为固有增长率，为人口容量。如下为微分方程模型：方程右端的rx体现了自身的增长趋势，因子（1-x/xm）则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用，显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，
2、人口增长是两个因子共同作用的结果。求方程的解析解：解：首先设固有的增长率r=5％，=1.5*10^9,近年来人口增长率程下降趋势，假定它保持不变。在MATLAB下输入：x=dsolve('Dx=0.05*x*(1-x/1.5*10^9)','x(0)=x0','t')x=3/(2000000000-exp(-1/20*t)*(-3+2000000000*x0)/x0)2.分别用ode45，ode23，ode13，ode15s，ode23s命令求解微分方程并从计算的结果比较这些命令的差别。解：令,则原微分方程可变换为如下一阶微分方程：在m文件
3、下输入如下代码：functiondy=f(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);取t0=0，tf=3000，输入ode45命令：[t,y]=ode45('f',[013000],[01]);plot(t,y(:,1),'-')图如下所示：输入ode23命令：[ty]=ode23('f',[013000],[01]);plot(t,y(:,1),'-')图如下所示：输入ode23s命令：[t,y]=ode23s('f',[03000],[01]);plot(t
4、,y(:,1),'-')图如下所示：输入ode15s命令：[t,y]=ode15s('f',[03000],[01]);plot(t,y(:,1),'-')图如下所示：3.设表示食饵，为捕食者在时刻的数量，则建立了一个具体的Volterra模型为用相轨线理论分析食饵和捕食者的随着时间变化的规律，并尝试着改进模型。模型求解：在M文件下输入如下代码：functiondx=f(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2));dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1));取t0=0，tf=15建立如下主
5、程序：[t,x]=ode15s('f',[015],[252]);subplot(1,2,1)plot(t,x(:,1),'-',t,x(:,2),'--')subplot(1,2,2)plot(x(:,1),x(:,2))输出结果如下所示：结果分析：左图为x(1)、x(2)随时间变化的关系图形，右图为相轨线，由图可知x(1)、x(2)都为周期函数，当捕食者最多时，食饵最少，当捕食者从最多慢慢减少时，食饵则慢慢增加，所以可以看出捕食者和食饵之间是相辅相成的关系。模型改进：由于每个种群增加到一定程度时会出现自身的阻滞现象，则可以把Logist
6、ic模型加入Voltrra中，模型如下：4.一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率跑步，设椭圆方程为：，突然有一只狗攻击他，这只狗从原点出发，以恒定速率跑向慢跑者，狗的运动方向始终指向慢跑者。分别求出时狗的运动轨迹。问题简述：已知慢跑者的运动椭圆方程，求狗以恒定速度W向他跑来时，狗的运动轨迹。问题分析：狗的运动方向始终指向慢跑者，这是一个典型的追赶问题，根据慢跑者的轨迹来确定狗的运动轨迹，确定狗的微分运动方程。模型建立：设t时刻慢跑者的坐标为(X(t）,Y(t)),狗的坐标为(x(t),y(t)),则：，狗从（0,0）出发，狗运动的参数方程为
7、：当w=20时，在Ｍ文件下输入如下代码：functiondy=f(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0,tf=10,建立主程序如下：[t,y]=ode45('f',[010],[00]);T=0:0.1:2*pi;X=1
8、0+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')图如下所示：当w=5时，在Ｍ文件下输入如
