随机过程讲义

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1、随机过程Stochasticprocesses1参考教材随机过程，刘次华著，华中科技大学出版社，第四版随机过程及其在金融领域中得应用，王军，王娟著，清华大学出版社人类社会的三类现象在自然界和人类社会活动中，普遍存在三类现象：确定性现象：在相同的条件下出现相同的结果，称为确定性现象或必然现象。如早上太阳在东方升起。随机性现象：在相同的条件下出现不同的结果，但结果是确定的，称为随机性现象。如掷硬币。模糊性现象：在相同的条件下出现不确定的结果，称为模糊性现象。如人的美与丑。不同现象与研究方法现象研究方法确定性现象－－－经典数学随机性现象－－－概率统计学模糊性现象－－

2、－模糊数学研究随机性世界的步骤随机试验随机事件及其概率随机变量及其概率分布随机过程第一章预备知识第一节概率第二节随机变量及其分布第三节随机变量的数字特征第四节矩母函数和特征函数第五节条件期望第六节指数分布第七节n维正态分布第八节收敛性和极限定理第一节概率一、基本概念：1．随机试验其结果在事先不能确定的试验。具有三个特性：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能的结果；（3）每次试验前不能确定哪个结果会出现。随机试验为研究随机现象的规律性，往往进行试验。例如：1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。2.抛一枚骰子，观察出现的点

3、数。3.记录某段时刻来某个银行办理业务的顾客数。4.记录车站售票处一天内售出的车票数。5.在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。6.记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。2．样本空间随机试验所有可能结果的集合，记为。其中每一个结果，称为样本点。3．随机事件样本空间的一个子集A。4．概率对样本空间的每一个事件A，都有一实数P（A）与之对应，且满足：（1）01PA（）（2）P（）1（3）对两两互不相容的事件序列AA，，12P（Aii）PA（)i1i1则称P（A）为事件A的概率。二、概率的性质：1P（）02PAB（）PA（）PB（）PAB（）c3P

4、A()1PA()4设A12，A，，An两两互不相容，则nnP（Aii）PA（)i1i15设两两互不相容的事件AA，，，A12ii1则对于任意事件B，有PB（）PB（Ai)i1三、条件概率1．定义设E为随机试验，为其样本空间，A、B为任意两个事件，若P（A）0则称P（AB）P（B

5、A）P（A）为事件A出现的情况下，事件B的条件概率，或简称事件B关于事件A的条件概率。2．基本公式定理1（乘法公式）假设A1，A2，，An为任意n个事件（n2），若P（AAA）012n则P（AAA）P(A)P(A

6、A)P(A

7、AA)12n121312P（

8、A

9、AAA）n12n1定理2（全概率公式与贝叶斯公式）n设事件B1，B2，，Bn两两互不相容，Bii1P（B）0i1，2，,ni则（1）对任意事件A，有nP(A)P（Bi）P（A

10、Bi)i1（2）对任意事件A，若P（A）0，有P（B）P（A

11、B)iiP(B

12、A)inP（Bi）P（A

13、Bi)i1四、独立性1．定义如果事件A，B满足P（AB）P（A）P（B）则称事件A，B相互独立。设A，A，，A是n个事件，如果对于任意12ns(2sn)和1i1i2isn，有P（AAA）P（A）P（A）P（A）i1i2isi1i2is则称

14、事件A1，A2，，An相互独立。美国有一对夫妻连续生了8个儿子。他们原本只想要4个小孩，但是当前面4个小孩都是男孩时，他们想再生一个女孩，直到连续生了7个男孩。后来他们的医生都保证说，按照平均数定律，下次生女孩的概率是99％。不幸的是，第8次还是男孩。因为生孩子和扔硬币一样，连续8个男孩的概率固然很小，但是在已经生了7个男孩之后，下一个是女孩的概率仍然是50％。2．独立性的性质定理3若事件A，B相互独立，则A与B；A与B；A与B分别也相互独立。定理4设事件A1，A2，，An相互独立，若其中任意m(1mn)个事件相应地换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。第

15、二节随机变量及其分布一、一维随机变量的分布1．随机变量设随机试验的样本空间为，如果对于每一个都有唯一的一个实数X()与之对应，这种对应关系称为一个随机变量，记作X()或X。2．分布函数随机变量X取值不超过x的概率P(Xx)，称为X的分布函数（其中x为任意实数），记为F(x)即F(x)P(Xx)x分布函数F（x）具有下列性质：10F(x)1x2F(x)是非递减函数，即当xx时，有12F(x)F(x)123limF(x)0limF(x)1xx