随机过程讲义(第一章)new

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1、第一章概率论基础知识1.事件、概率和概率空间1.1随机事件的运算和概率1.2σ代数(域)和Borel集设全集为Ω，F为一些Ω的子集构成的集类，若F满足1)Ω∈F2)对任意A∈F，A∈F3)对任意有限或至多可数的{A}⊂F，UA∈Fnnn则称F为一个σ代数(域)给定一个集合Ω，就可以构造一个包含它的一个σ代数。推广：给定一个集类C，可以构造一个C⊂F的一个σ代数F。包含C的最小的σ代数，称为由C生成的σ代数，记作σ(C)。例如设Ω=R，C={}A:A=R或[a,b)或(−∞,b)或(a,∞),任意a,b∈R为R上的一个集类，σ(C)中的集合称为Bore

2、l集，σ(C)称为直线上的Borel域，记为B(R)。1.3Kolmogorov概率公理化定义给定全集Ω和其子集构成的一个σ代数F，若定义在F上的函数P(⋅)满足1)任意A∈F，0≤P(A)≤1；2)P(Ω)=1；3)对任意两两不交的至多可数集{An}⊂F，P⎛⎜UAn⎞⎟=∑P(An)⎝n⎠n称P(⋅)为F上的概率测度，(Ω,F,P)称为概率空间。11.4随机变量的概念定义：设(Ω,F,P)为一概率空间，X=X(w)为Ω上的一个实值函数，若对−1任意实数x，X((−∞,x))∈F，则称X为(Ω,F,P)上的一个（实）随机变量。−1称F(x)=P(X

3、

4、∑P(ABk)⋅P(Bk)kP(AB)⋅P(B)kkBayes公式：P(BA)=k∑P(ABi)⋅P(Bi)i2.特征函数和母函数2.1特征函数TjwX设X为n维实随机向量，称φ(w)=Ee为X的特征函数(characteristicfunction)。性质：1)ϕ(0)=1；n2)(有界)ϕ(w)≤1,∀w∈R_______3)(共轭对称)ϕ(w)=ϕ(−w)；n4)(非负定)对任意给定正整数m，任意t,tLt∈R和任意复数12m2mmα1,α2Lαm，∑∑ϕ(tl−tk)αlαk≥0；l==11kn5)ϕ(w)为R上的连续函数。6)有限多个独立随

5、机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积；T7)设X=(ξ,Lξ)为n维随机向量，特征函数为ϕ(w,Lw),则1n1n∂s1+L+snϕ(w,L,w)ss1nt=0∂w1L∂wnEξs1Lξsn=1n，若Eξs1Lξsn<∞；1njs1+L+sn1n8)随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定。nBocher定理：R上的函数ϕ(t)是某个随机变量的特征函数当且仅当ϕ(t)连续非负定且ϕ(0)=1。例如：⎛n⎞kn−k设X服从二项分布B(n,p)，P(X=k)=⎜⎜⎟⎟pq,k=0,1,Ln;p+q=1，⎝k⎠jwn其特征函数φ(w)=(q+pe)jw设

6、X服从参数为λ的Poisson分布，其特征函数φ(w)=exp[λ(e−1)]2122设X服从正态分布N(µ,σ)，其特征函数φ(w)=exp(jwµ−σw)22.1母函数(概率生成函数)在研究只取非负的整数值0,1,2,L的随机变量时，以母函数来代替特征函数比较方便。假设随机变量X的分布为p=P(X=k),k=0,1,2,L，其中k∞∑pk=1,称k=0∞Xkϕ(s)=Es=∑pks,s≤1k=0为随机变量X的母函数(概率生成函数)(probabilitygeneratingfunction)。性质：1)ϕ(1)=1,ϕ(s)在s≤1绝对且一致收敛

7、；2)ϕ(s)唯一决定随机变量X的分布；33)若随机变量X的l阶矩存在，则可以用母函数在s=1的导数值来表示，2特别有EX=ϕ′(1),EX=ϕ′′(1)+ϕ′(1)3.收敛性和极限定理3.1各种收敛的定义设X,X,LX,L为一随机变量序列，12n1)若对任意ε>0，limP(X−X≥ε)=0，则称X,X,LX,L依概率收n12nn→∞敛到随机变量X；pp2)若EX存在，且limEX−X=0，则称X,X,LX,Lp阶收敛到nn12nn→∞随机变量X，特别当p=2，称为均方收敛。3)若P(limX=X)=1，称X,X,LX,L几乎必然收敛到随机变量X。

8、n12nn→∞4)若其分布函数序列F(x)满足limF(x)=F(x)在每一个F(x)连续点处nnn→∞成立