随机过程讲义(第二章)new

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1、第二章随机过程的一般概念2.1随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(Ω,F,P)为概率空间，T是某参数集，若对每一个t∈T，X(t,w)是该概率空间上的随机变量，则称X(t,w)为随机过程(StochasticProcess)。随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。随机过程X(t,w)可以看成定义在T×Ω上的二元函数，固定w∈Ω，即对于一个特定的随机试验，0称X(t,w)为样本路径(SamplePath)，或实现(realization)，这是通常所观测到的0过程；另一方面，固定t∈T，X(t,w)是一个随

2、机变量，按某个概率分布随机00取值。TTT抽象一点：令R=∏R，即R中的元素为Xt=(xt,t∈T),B(R)为其Borelt∈TTT域(插乘σ域)，随机过程实质上是(Ω,F)到(R,B(R))上的一个可测映射，在TT(R,B(R))上诱导出一个概率测度P：TT()∀B∈B(R),P(B)=PX∈B。TT一般t代表的是时间。根据参数集T的性质，随机过程可以分为两大类：1)T为可数集，如T={0,1,2,L}或T={L,−1,0,1,L}，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)T为不可数集，如T={tt≥0}或T={t−

3、∞

4、走，以p的概率向前迈一步，以q的概率向后迈一步，以r的概率在原地不动，p+q+r=1，选定某个初始时刻，若以X(n)记它在n时刻的位置，则X(n)就是直线上的随机游动(RandomWalk)。例2.1.2：到达总机交换台的电话呼叫次数可以看成为一个Poisson过程。例2.1.3：研究某一物种数量，由于环境等一些因素的影响导致物种出生和死亡的是随机变化的，若以X(t)表示在时刻t≥0时物种总数量，X(t)为生灭过程(BirthandDeathProcess)(满足一定假设)。例2.1.4：英国植物学家Brown注意到漂浮在

5、液面上的微小粒子不断进行无规则运动，这种运动是分子大量随机碰撞的结果，称为Brown运动，以()X(t),Y(t)表示粒子在平面上的位置，则它是平面上的Brown运动。2.2：有限维分布和数字特征定义2.2.1：对∀n∈N，∀t,t,Lt∈T，n维随机向量(X(t),X(t),LX(t))的12n12n联合分布函数F()x,x,Lx;t,t,Lt=P(X(t)

6、2n12n12n为随机过程X(t)的有限维分布函数簇。有限维分布函数簇显然满足如下两个性质：1.（对称性）设i,i,Li为1,2,Ln的任意排列，∀t,t,Lt∈T，则12n12nF()x,x,Lx;t,t,Lt=F(x,x,Kx;t,t,Kt)12n12ni1i2ini1i2in2.设m

7、t∈T，n维随机向量(X(t),X(t),LX(t))诱12n12nnn导出(R,B(R))上的一个概率测度P，该概率测度可以由下面定义唯一决t1,t2Ltn定：n∀B,BLB∈B(R),B=B×BL×B∈B(R)12n12nP(B)=P()X(t)∈B,X(t)∈BLX(t)∈Bt1,t2Ltn1122nn此概率测度所确定的分布满足两条性质：1.（对称性）设i,i,Li为1,2,Ln的任意排列，∀B,B,LB∈B(R)，则12n12nP(B×BL×B)=P(B×BL×B)ti1ti2Ltini1i2i1nt1,t2Ltn

8、12n2.设m