第十五章 傅立叶级数

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1、[教学时数]：10学时。[教学要求]：1、能准确叙述并理解收敛定理的证明。2、能将简单的函数展成傅立叶级数，应用奇、偶开拓的办法将区间（0，π）上的函数展成正弦、余弦级数。第十五章傅立叶级数§15.1傅立叶级数一三角函数和正交函数系先介绍四个基本概念：1°三角函数系：是指函数列1，cosx，sinx，"，cosnx，sinnx，"。2°正交性：三角函数系中两两不同的函数之乘积，可分为5种：1cos⋅nx，1s⋅innx；sinnxsinmx、cosnxcosmx，()mn≠；sinnxcosmx；容易证明5种乘积在[

2、,−ππ]的定积分都为0，这个性质叫做三角函数的正交性。3°三角函数系中每两个函数自身的平方的定积分值不为0，且πππ222∫−π12dx=π，∫−πcosnxdx=π，∫−πsinnxdx=π。4°三角级数，是指级数∞a0++∑(cannnosxbnsin)x。2n=1二以2π为周期的函数的傅立叶级数定理15.2设∞a0f()xa=+∑(cosnnnx+bsin)nx（15.1）2n=1若右边的三角级数在(,−∞+∞)一致收敛，则有1πaf=()cosxnxdx，n=0,1,2"，（15.2）n∫π−π1πbf=(

3、)sinxnxdx，n=1,2,3"。（15.3）n∫π−π证明：式（15.1）两边同乘以1或cosnx，并逐项积分（应用了结论：一致收敛的函数级数乘以有界函数后仍然一致收敛）得∞ππaπ0∫∫∫f()xdx=+∑(cosannnxb+sin)nxdx−−ππ2−πn=1=aπ。（正交性）0∞πππa0∫∫∫f()cosxnxdx=++cosmxdx∑(anncosnxbsinnx)cosmxdx−−−πππ2n=1π2==amcosxdxaπ，∫mm−π这就证得公式（15.2），同法可证公式（15.3）。定义：设函

4、数f在[,−ππ]可积，称1πaf=()cosxnxdx，n=0,1,2"；n∫π−π1πbf=()sinxnxdx，n=1,2,3"。n∫π−π为f的傅立叶系数，称三角级数∞a0f()xa∼++∑(cosnnnxbsin)nx2n=1为f()x的傅立叶级数。三收敛定理定义：设函数f在区间[,ab]有定义，除有限个点外都可导，且：1°在可导点，f的导函数连续；''2°在不可导点x处，fx(0+)与fx(0−)都存在；则称f()x在区间[,ab]按段光滑。⎧xx,0≠补例1函数f()xx=，gx()=⎨都在区间[1−,

5、1]按段光滑。⎩1,x=0为了证明定理15.13，下面介绍按段光滑函数的性质。设函数f在[,ab]按段光滑，那么：'（1）导函数f在[,ab]可积（在不可导点随意规定其值）；（2）∀∈x[,]ab，都有fx(0−)与fx(0+)存在（在点ab,指单侧极限）；（3）∀∈x[,]ab有fxtfx()(0+−+)lim=fx'(+0)，+t→0tfxtfx()(0−−−)lim=fx'(−0)；+t→0t（4）函数f在[,ab]可积。说明：无妨设f()x的不可导点为x，x，"，x，且axx≤<<<≤"xb，12n12n在[

6、,]xx上作导函数f'()x的连续开拓gx()，即12'⎧fx(0+=),xx,11⎪'gx()=<⎨fx(),xxx<,12⎪'fx(0−=),xx,⎩22那么gx()在[,]xx连续，从而可积，这就证得（1）。12∀x、x∈(xx,)，那么12xx'∫∫gtdt()==ftdt()fx()−fx()，xx+令x→x，则左边极限存在（因为变上限积分连续），故右边极限也存在，即fx(0+)存11在，这就证得（2）。同时推出x1∫gtdt()=f(0xf1+−)(x)x=f'()(ξxx−)（积分中值定理）1其中ξ∈(

7、,)xx，令x−=xt得11fxtfx()(0+−+)11=f'()ξ，t+令t→0，由按段光滑定义推知limff'()ξ='(x+0)存在，故有+1t→0fxtfx()(0+−+)11lim=fx'(+0)，+1t→0t这就证得（3）；利用（2）的结果仿照（1）的证法即可证明（4）。周期延拓（或周期开拓）：设函数f()x定义在(,−ππ]上，把图象平移到区间(,3]ππ，(3,]−−ππ，"，这就得到一个定义在(,−∞+∞)的周期函数f*，它是f()x以2π为周期的周期延拓。⎧x,0≤≤xπ补例2把fx()=⎨在(

8、,−∞+∞)作周期延拓后的图象如图15.1（1）。⎩0,−<<πx0此外函数⎧π,,x=±π⎪fx*(++0)fx*(−0)⎪2=⎨20,−π<≤x0,⎪⎪⎩x,0<