中考复习——将军饮马问题

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1、中考复习——将军饮马问题三原县东郊中学———杨森一、什么是将军饮马将军饮马问题两条线段的和最短问题早在古罗马时代就有了。传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天骑马从城堡A出发到城堡B途中，马要到小溪边饮水一次。A、B两城在小溪的儿同侧，将军问怎样走才能使总路程最短。这个问题就是被称为“将军饮马”而广为流传的问题。如图1所示，诗中将军从城堡A出发，走到河旁边的C点饮马后再到城堡B点．请问怎样走才能使总的路程最短？如图2所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线

2、上，取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．二、知识点播（1）基本数学应用：求两条线段的最小值问题。依据：“两点之间，线段最短”（2）命题背景：这类问题经常将背景变化为角、三角形、特殊的四边形、圆、坐标系、抛物线等，但是有一个共同点“轴对称性”。（3）解决策略a、提取“一定直线，两定点+一动点的教学模型”方法：①找动点确定对称轴②选一定点作对称点③连接所作的对称点与另一个定点，找与对称轴的交点b、同侧线段和转化为异侧线段的和，即化为

3、“折”为“直”。（利用共线点最小值解决问题）c、计算（涉及到的常用方法勾股定理、等面积法、三角函数）d、问题延伸：三角形、四边形的周长最小值：已知一定边，将其他两边或三边转化到一条直线上。三、典例分析1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E为AB的中点，点P是AC上一动点，求PE＋PA的最小的值2、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是______．3、已知：二次函数y＝-x2+2x+3的图像与X轴交于A、B，与Y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时

4、，点P的坐标为———————（思考：如果改为△BPC的周长呢）4、已知：如图，在∠MON内部存在着一点C，求作：OM上一动点A，ON上一动点B，使得AB+BC+AC的值最小5、如图，已知，⊙O的直径MN为4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，P为直径MN上一动点，求BP+AP的最小值知识挑战：6、如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点求△PQR周长的最小值。（要求画出示意图，写出解题过程）7、如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=4，AD=3在BC、CD上分

5、别找一点M、N，使△AMN周长最小值8、问题延伸：四边形ABCD是圆o的内接四边形,AC是圆o的直径,∠BAD=120°，AB=3,AD=4，M、N分别为为BC和CD上两个动点，则△AMN周长最小值为多少？9、如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．（1)在图中作出点P(保留作图痕迹，不写作法)；（2)请直接写出△PDF周长的最小值：________．、