高考数学优化方案第13章§13.1

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1、§13.1数学归纳法及其应用考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考13.1数学归纳法及其应用双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做_______.2．对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性，先证明当n取第1个值n0时，命题成立，然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1归纳法时，命题也成立，这种证明方法叫做___________．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1)_________________________________；(

2、2)_______________________________________________________________．数学归纳法证明n取第一个自然数n0时命题成立假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立思考感悟用数学归纳法证明问题时，只证明第二步可以吗？提示：不可以，第一步是证明问题的基础，即从哪个自然数开始递推；第二步是递推的依据,即解决这个问题为什么能由上一个自然数成立可推得下一个自然数也成立，这是归纳法的实质，二者缺一不可．课前热身答案：B答案：C答案：D4．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形

3、的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.答案：π考点探究·挑战高考题型一用数学归纳法证明等式考点突破用数学归纳法证明等式问题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，从n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项,增加怎样的项．难点在于寻求n＝k时和n＝k＋1时的等式的联系．例1【名师点评】证明n＝k＋1时的命题时，实际就是在n＝k的命题加添第k＋1项．若不等式是关于正整数的不等式时，可以用数学归纳法证明其过程，与证明等式类似．题型二用数学归纳法证明不等式例2【思路分析】验证n＝2成立，证明n＝k＋1不等式成立，要用n＝k时的不等式．

4、【思维总结】在证明n＝k＋1的不等式时，本方法采用了放缩法．“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这是数列中常用的求an和Sn的方法．题型三用数学归纳法证明数列问题例3在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测：{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．【思路分析】猜想an及bn，用数学归纳法证明．【解】　

5、由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上可得结论成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.【思维总结】本题是{an}与{bn}相互依赖而递推：a1和b1→a2，由a2和b1→b2，….方法技巧1．数学归纳法与递推思想步骤(1)，当n＝n0时命题成立；步骤(2)，取k＝n0，则n＝k＋1时命题也成立，由步骤(2)，取k＝n0＋1，则n＝k＋2

6、时命题也成立；…由此递推断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．方法感悟数学归纳法的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则会导致错误．2．用数学归纳法可以证明与正整数有关的一些命题：等式、不等式、整除及数列问题．失误防范1．运用数学归纳法应注意：①n＝n0时n0的取值；②证明n＝k＋1时成立必须用上归纳假设.2．“归纳——猜想——证明”的解题方法，其中“猜想”是对满足题意的所有“n”值都成立的规律的体现，不是部分“n”值．考向瞭望·把脉高考从近两年的高考试题来看，数学归纳法是高考的常考内容，主要以解答题的

7、形式考查：(1)运用数学归纳法证明一些与正整数有关的命题(如等式和不等式)；(2)对于一些与正整数有关的探索性问题，往往需先归纳、猜想，然后用数学归纳法进行论证，难度中等或较大．主要是在数列的解答题中出现，有时是一个填空题，归纳猜想出一个一般性结论．考情分析在2010年的高考中，浙江理第14题，陕西理第12题等都是由特殊到一般的归纳推理的填空题，大纲全国卷Ⅰ理第22题可用数学归纳法证明{bn}的通项公式或者探索c的值．同样卷Ⅱ理第18题第(2)问中也可用数学归纳证明.预测2012年高考中以解答题的形式求出数列的通项公式或Sn或者由an和Sn构成的不等式，用

8、数学归纳法证明，甚至与函数结合起来再转化为数列．(本题满分10分)