《特征值与特征向量》PPT课件

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1、第五讲特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分，它们不只在数学的各分支，如微分方程、差分方程等中有重要应用，而且在其他科学技术领域也有广泛的应用，如工程技术中的振动问题和稳定性问题等。本章将介绍特征值与特征向量、相似矩阵、实向量的内积与正交矩阵等概念，讨论方阵相似于对角矩阵的问题．知识脉络图解特征值和特征向量定义计算应用性质求特征值求特征向量方阵的相似对角化计算化二次型为标准型对应不同特征值的特征向量线性无关对应于不同特征值的特征向量正交重点、难点解读首先要理解特征值和特征向量的定义以及特征向量与相似对角化问题之间的关系。理解两个矩

2、阵相似的定义和必要条件。熟练地掌握特征值及特征向量的求法以及求一个正交矩阵把一个具体的实对称矩阵相似对角化的一般步骤。对于方阵的对角化问题，应掌握以下几个基本结论：⑴阶方阵A可以相似对角化的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量；⑵方阵未必总是可以对角化的，但实对称矩阵一定可以相似对角化，而且可以正交相似对角化。一、求具体矩阵的特征值与特征向量1、矩阵的特征值与特征向量设A是数域F上的一个阶方阵，如果存在数和数域F上的维非零向量，使得则称为A的特征值，为A的对应特征值的特征向量，称为A的特征矩阵；称为A的特征多项式；称为A的特征方程。2、求具体矩阵的特征值与特征向量的步骤

3、第一步由特征方程求得A的个特征值，设是A的互异特征值，其重数分别为，则第二步求解齐次线性方程组，其基础解系就是A对应特征值的线性无关特征向量，而A对应特征值的全部特征向量为矩阵特征值特征向量3、矩阵运算的特征值与特征向量4、特征值的重要性质设的个特征值为，则例1设矩阵求的特征值与特征向量。解法1经计算可得从而故的特征值为9，9，3.当时，对应的线性无关特征向量可取为所以对应于特征值9的全部特征向量为（是不全为零的任意常数）当时，对应的特征向量可取为所以对应于特征值3的全部特征向量为（是不全为零的任意常数）法2设A的特征值为，对应的特征向量为，即由于所以又因为故有于是有则因

4、此，为的特征值，对应的特征向量为由于故A的特征值为。当时，对应的线性无关特征向量可取为当时，对应的特征向量可取为由得故的特征值为9，9，3.所以对应于特征值9的全部特征向量为（是不全为零的任意常数）对应于特征值3的全部特征向量为（是不全为零的任意常数）二、求抽象矩阵的特征值与特征向量对于元素没有具体给出的抽象矩阵，要根据题设条件，利用特征值与特征向量的定义，即满足，的和为A的特征值和相应的特征向量；或利用特征方程，满足特征方程的即为A的特征值；或利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值。例1设有4阶方阵A满足条件其中E为4阶单位矩阵，求A的伴随矩阵的一个特征值。分析的

5、特征值为，其中是A的特征值。因此，本题的关键在于计算以及A的一个特征值，而这由已知条件均很容易得到。解由，得A的一个特征值又由条件，有即由于，所以，故的一个特征值为证由题设知例2证明：若A为阶降秩矩阵，则A的伴随矩阵的个特征值至少有个为零，且另一个非零特征值（如果存在）等于（1）当时，，所以的特征值为0，0，…，0，结论成立。（2）当时，，这时有个特征值为0，设的特征值为，且则例3设A是阶实对称矩阵，P是阶可逆矩阵，已知是属于A的特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是因为所以，选B。例4已知3阶矩阵A的特征值为1，-1，2.设矩阵（1）求矩阵B的特征值。（2）计算

6、行列式及解（1）由，知，故因而为B的特征值，将A的特征值代入中，得到B的所有特征值-4，-6，-12.（2）因所以由，得（2）另解因A的特征值为1，-1，2，故三、方阵可对角化的判定、计算及应用1、相似矩阵的概念设A,B为数域F上的两个阶矩阵，如果存在数域F上阶可逆矩阵X，使得，则称A相似于B，记为A～B；并称由A到B的变换称为相似变换，称矩阵X为相似变换矩阵。2、相似矩阵的性质设阶矩阵A与B相似，则（1）（2）（3）（4）（如果可逆）；（5）若是数域F上任一多项式，则（6）方阵的相似关系是等价关系。3、可对角化矩阵的概念如果数域F上阶矩阵A可相似于对角矩阵，则称A可对角

7、化。4、可对角化矩阵的条件（1）（充分必要条件）A有个线性无关的特征向量；（2）（充分条件）A有个互异的特征值；（3）（充分必要条件）A的所有重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于其重数；（4）（充分条件）A是实对称矩阵。5、方阵可对角化矩阵的判定与计算对于阶方阵A，判断A可否对角化，并在可对角化的情形下求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵的基本步骤如下：第一步求A的全部特征值。若A有个互异的特征值，则A可对角化。第二步对每一个特征值，解方程组得对应的线性无关特征向量（即齐次线性方程组的基础解系）若某个，即对应的线性无关特征向量