《特征值特征向量》PPT课件.ppt

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1、定义1设A为n阶方阵，X是n维向量，如果存在数l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量方程AX=lXAX-lX=O(A-lE)X=O特征值:使n元齐次方程AX=lX有非零解的数l0A的对应于l0的特征向量：即不论l取何值，方程AX=lX一定有解§4·3矩阵的特征值和特征向量例如：对，取l=4，代入方程AX=lX得AX=4X(A-4E)X=O(A-4E)X=O有非零解所以，l=4是矩阵A的一个特征值对，取，得一个基础解系则方程(A-4E)X=O的全部解为：c为任意常数A的属于l=4的特

2、征向量：c≠01、求n阶方阵A的特征值：数l0是A的特征值l0使方程AX=lX有非零解因此：l0是A的特征值l0使成立求A的特征值步骤：(1)计算n阶行列式解得方程的根l1，l2，…，ln，则l1，l2，…，ln即是A的特征值设则方程即是的n次方程在复数域上，方程一定有n个根。A的特征多项式方程A的特征方程定义2设A为n阶方阵，为其特征值组，则其特征方程可表示为：则称为的代数重数(重数)，而特征子空间的维数称为几何重数(度数)。显然：解：令，得l1=-1，l2=7则A的特征值为l1=-1，l2=7【例1】求的特征值2、求A的属于特

3、征值l的特征向量设li是A的特征值，则方程AX=li,X有非零解.即方程(A-liE)X=O有非零解，方程组(A-liE)X=O的全部非零解A的对应于特征值li的特征向量:2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系V1、V2、…、Vs步骤：1）把l=li代入方程(A-liE)X=O得一齐次线性方程组(A-liE)X=O3）A的属于特征值li的特征向量为：是不全为零任意常数【例2】求矩阵的特征值与特征向量解：得l1=2，l2=l3=1（二重根）则A的特征值为l1=2，l2=l3=1把l1=2代入方程(A-lE)X=O，得(A-2E)X

4、=Oïîïíì==+-=+-0040312121xxxxxîíì==0021xx,得一基础解系于是，A的属于l1=2的全部特征向量为：把l2=l3=1代入方程(A-lE)X=O，得(A-E)X=O行变换于是，A的属于2=1的全部特征向量为：取13=xîíì=+=+-0023121xxxxîíì-==13122xxxx得一基础解系取11=x解：得1=-2，2=3=7（二重根）则A的特征值为1=-2，2=3=7把l1=-2代入方程(A-lE)X=O，得(A+2E)X=O【例3】求矩阵的特征值与特征向量于是，A的属于l1=-

5、2的全部特征向量为：îíì=+-=-02023221xxxxîíì==232122xxxx,得一基础解系取12=x把l2=l3=7代入方程(A-lE)X=O，得(A-7E)X=O令分别取，得基础解系于是，A的属于l2=l3=7的全部特征向量为：022321=++xxx31222xxx--=定理1n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。即若是属于特征值l1的特征向量是属于特征值l2的特征向量且l1≠l2，则与线性无关证明：设l1、l2、…、lm是A的m个不同的特征值，a1、a2、…am是分别属于l1、l2、…、lm的特征向量，即

6、是方程的非零解要证：线性无关设：即有，且在(1)式两边左乘A，得(2)在(2)式两边左乘A，得（3）（1）（2）（3）（m）做矩阵乘积:（*），即B可逆不同特征值对应的特征向量线性无关所以：则：定理2设l是A的特征值，a是A的属于l的特征向量，则:(1)kl是kA的特征值(k为任意常数)(2)lm是Am的特征值(m为正整数)(3)当A可逆时，l≠0，且l-1是A-1的特征值因为a是A的属于l的特征向量，即a是方程AX=lX的非零解，所以有Aa=la且a≠0证（1）：kl是kA的特征值且a≠0，所以a是方程kAX=klX的非零解kl是

7、kA的特征值因为(kA)a要证方程(kA)X=(k)X有非零解=k(Aa)=k(la)=(kl)a先证当A可逆时，l≠0：反证：若不然，l=0由Aa=la，得Aa=0因为A可逆，两边左乘A-1，得=0。矛盾证（3）当A可逆时，l≠0，且l-1是A-1的特征值再证l-1是A-1的特征值：因为Aa=la，两边左乘A-1，得a=A-1la=lA-1a且≠0l-1a=A-1a即a是方程A-1X=l-1X的非零解故l-1是A-1的特征值【例4】设四阶方阵A满足求的一个特征值。解：,即A可逆,由所以l=-3是A的一个特征值且由再由定理2的

8、（1）可知：定理3矩阵A与其转置矩阵A’有相同的特征值证明：即A与A’有相同的特征多项式故A与A’有相同的特征值定理4设l1、l2、…、ln是A的n个特征值，则说明（1）利用本定理结论(1)可检验所求的特征值是否正确。（2）由结论(2