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1、8.4特征值与特征向量一.引入特征值、特征向量概念二.特征值、特征向量概念三.特征多项式的性质一.特征值、特征向量概念引入问题：对任意的A∈L(V),如何找到一个基，使A在该基下的矩阵最简单？定义4A∈L(V),若存在A∈P，存在ξ(≠0)∈V，使得Aξ=λ0ξ（1），则称λ0为A的特征值，ξ为A的属于λ0的特征向量.几何意义：V3中，Aξ与ξ在同一直线上，其长度相差
2、λ0
3、倍.特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）.证明：1）Aξ＝λ0ξ→对任意的k∈P,k≠0,A(kξ
4、)＝kAξ＝k(λ0ξ)＝λ0(kξ).□即:凡kξ都是A的属于λ0的特征向量.2)设α是A的属于特征值λ1,λ2特征向量→Aα=λ1α=λ2α→(λ1－λ2)α=o→因α≠0,故λ1－λ2=o→λ1=λ2.□两集合无公共向量Aλ1统领的特征向量全体λ2统领的征征向量全体Vλ={α∈V
5、Aα=λα}是V的子空间，称为A的属于特征值λ的特征子空间，由A的属于特征值λ的特征向量与零向量(非λ的特征向量)组成.证明：对任意的k∈P,α,β∈Vλ,A(α＋β)=A(α)＋A(β)=λα＋λβ=λ(α＋β)→α＋β∈VλA(kα)=k
6、Aα=k(λα)=λ(kα)→kα∈Vλ故Vλ是V的子空间.□例取数乘变换K∈L(V)，对任意的α(≠0)∈V,k∈P,K(α)=kα,即V中非零向量均为K的属于特征值k的特征向量，特征子空间即为V.特别当k=1时,V中非零向量均为恒等变换E的属于特征值的特征向量；当k=0时,V中非零向量均为零变换O的属于特征值0的特征向量.它们的特征子空间均为V.二.特征值、特征向量的计算1.命题:设A(∈L(V))在基ε1,ε2,···,εn下的矩阵A=(aij)n×n,则ξ=x1ε1+x2ε2+···+xnεn是A的属于特征值λ的特征
7、向量的充要条件是该命题说明，λ是否为A的特征值，ξ(≠0)是否为A的属于λ的特征向量，关键在于
8、λE－A
9、是否等于0，故有必要研究多项式
10、λE－A
11、的特性→促使引入一下概念：2.定义5A∈Pn×n,λ是文字，矩阵
12、λE－A
13、的行列式称为矩阵A的特征多项式，记为fA(λ).fA(λ)=
14、λE－A
15、∈P[x],∂fA(λ)=n.λ为A的特征值的充要条件是fA(λ)=0.对命题《λ是A的特征值的充要条件是fA(λ)=0》的证明分析:以上讨论说明，线性变换A的特征值均为fA(λ)的根，设λ0是的特征值，即fA(λ0)=
16、λ0E－A
17、
18、=0→如上齐次线性方程组(λ0E－A)X=0的非零解均为A的属于特征值λ0的特征向量→给出如下课题的思路：3.求特征值，特征向量的方法（对给定的A）该实例说明：导数为0的多项式只能是零或非零常数，其中非零常数均为求导线性变换D的属于特征值0的特征向量.例4Sθ：V2→V2,Sθ(α)=α/(α按逆时针方向旋转θ度得α/).(即二维平面上的旋转变换,见P274例1).作业：P324.习题19.1)；3)；5)；7).三特征多项式fA(λ)(A∈Pn×n,P为复数域)的性质设fA(λ)在复数域C上有n个根λ1,λ2,···,λn
19、（重根按重数计），a1+a2+···+an=Tr(A),称为A的迹，则（1）λ1+λ2+···+λn=Tr(A)；（2）λ1λ2···λn=
20、A
21、.证明:据根与系数的关系及性质1→λ1+λ2+···+λn=a11+a22+···+ann=Tr(A)成立.λ1λ2···λn=(－1)n(－)n
22、A
23、=
24、A
25、成立.□3.(定理6)n阶矩阵A∽B，则存在可逆矩阵X∈Pn×n,使得fA(λ)=fB(λ).证明：A∽B→存在可逆矩阵X∈Pn×n,使得B=X－1AX→fB(λ)=
26、λE－B
27、=
28、λE－X－1AX
29、=
30、X－1(Λe－A)X
31、
32、=
33、X－1
34、
35、λE－A
36、
37、X
38、=
39、X－1
40、
41、X
42、
43、λE－A
44、=
45、X－1X
46、
47、λE－A
48、=
49、λE－A
50、=fA(λ).□3.说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换A的矩阵A的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故可将矩阵A的特征多项称为线性变换A的特征多项式，记为fA(λ).不同基下AAfA(λ)=fB(λ)=fA(λ)BL(V)APn×nA∽BA∽B，则
51、A
52、=
53、B
54、.证明:A∽B→fA(λ)=fB(λ)→两多项式的常数项相等，即(－1)n
55、A
56、=(－1)n
57、B
58、→
59、A
60、=
61、B
62、.□定理6的逆一般不成
63、立，即fA(λ)=fB(λ)一般推不出A∽B
64、.但A，B不相似.因为与A=E相似的矩阵只能是A.(设X－1AX=B→B=X－1AX=X－1X=E=A)4.哈密顿–凯莱(Hamilton–Caylay)定理:设fA(λ)是数域P上n阶矩阵A的特征多项式，则fA(A)=An－(a11＋a22＋
