《线性相关性》PPT课件

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1、一、线性组合二、向量组的等价§3.3线性相关性三、线性相关性四、极大无关组设一、线性组合定义称向量可表成向量组　的一个线性组注：1)若，也称向量与成比例.为向量组的一个线性组合●合，如果存在一组数使得也称向量可由向量组线性表出.2）零向量0可由任一向量组的线性表出.3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.4）任一维向量都是向量组也称为n维单位向量组．的一个线性组合．事实上，有对任意　　　　　　　　皆有若能，写出它的一个线性组合．解：设，即有方程组（1）例1判断向量　能否由向量组　　　　线性表出.对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵所以方程组(1)有解．它的一般解为得(1)的一个

2、解，令从而有1、定义二、向量组的等价向量组等价.记为若向量组中每一个向量若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个可以经向量组线性表出；皆可经向量组线性表出，则称向量组向量组之间的等价关系具有：1)反身性：AA2)对称性：3)传递性:2、性质设A={}，B={}，C={}为三个向量组三、线性相关性1、线性相关注：特殊情形2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.定义1：如果向量组中有一向量称为线性相关的.可经其余向量线性表出，则向量组1）向量组线性相关成比例.定义1'：向量组称为线性相关的，如果存在P上不全为零的数使在时，定义1与定义1'是等价的.注：例2判断下列向量组是否线性相关.定义2：若向

3、量组　不线性相关，则称若不存在P中不全为零的数，使向量组为线性无关的.2、线性无关即则称向量组为线性无关的.必有换句话说，对于一个向量组若由则称向量组为线性无关的.1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.个向量可由其余向量线性表出.3、线性相关性的有关性质2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关.5）如果向量组线性无关，而向量组线性相关，则可经向量组唯一地线性表出.(习题3)都线性无关.4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分

4、组线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解；的充要条件是齐次线性方程组(2)有非零解.6）向量组（2）向量组线性相关特别地，对于n个n维向量行列式行列式线性无关.线性相关；的缩短组.7）若向量组线性无关，则向量组也线性无关.向量组常称为向量组的延伸组；注：称为而相关，则向量组也线性相关.反之，若向量组线性8）向量组线性相关的基本性质定理定理2设　与为两个i)向量组可经线性表出；则向量组必线性相关.ii)向量组，若要证线性相关，即证有不全为零的数使证：由i)，有作线性组合若能找到不全为０的，使中，方程的个数s＜未知量的个数r，在方程组（3）从而有不全为零的数，使所以（3）有非零解.所以线性相

5、关。则也使推论2任意n＋1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数推论1若向量组可经向量组线性表出，且线线性无关，则的向量.（任意个n维向量必线性相关.）例2判断向量组是否线性无关？若线性相关，求一组非零数使解：设即有方程组解之得为任意数所以　　　　线性相关.令则有使由于线性无关，于是有设即例3已知向量组线性无关，向量证明：线性无关.解之得所以线性无关.证：1、极大线性无关组i)线性无关；极大线性无关组，简称极大无关组.一个部分组若满足定义为中的一个向量组，它的设线性表出；ii)对任意的,可经四、极大线性无关组　秩则称为向量组的一个3）一个向量组的极大无关组不是唯一的

6、.注5）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.6）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.7）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.4）向量组和它的任一极大无关组等价.1）全为零向量的向量组没有极大无关组.2）含有非零向量的任意向量组一定存在极大无关组.定义向量组A的极大无关组所含向量个数称为这个性质：一个向量组线性相关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同；它的秩＜它所含向量个数.向量组的秩.记为rank(A),R(A),orr(A).2、向量组的秩1）一个向量组线性无关的充要条件是2）等价向量组必有相同的秩.3）若向量组可经向量组线性表出，则秩秩（习题12）例4设1）证明

7、：线性无关.2）把扩充成一个极大无关组.1）证：由于　　　不成比例，2）解：线性无关.由即为自由未知量.解得线性相关.即　可经　　　线性表出.由解得线性无关.即　不能由　　　线性表出.即知，再由行列式存在不全为零的数　　　　　　使线性相关.故　　　　即为由　　扩充的一个极大无关组.例5求向量组的极大无关组.解：作矩阵对矩阵A作初等行变换化为阶梯形由矩阵B知　　　　线性无关且为极大无关组.附求向量组　　　　　的