线性相关性课件.ppt

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1、一、线性组合二、向量组的等价§3.3线性相关性三、线性相关性四、极大无关组回顾：线性方程组(1)(5)其中2i)　若．方程组有唯一解.２°时，方程组(5)有解，从而(1)有解，１°时，方程组(5)无解，从而(1)无解．ii)若．方程组有无穷多解.问题：1.r

2、交换律结合律数乘关于向量加法的分配律数乘关于数的加法的分配律数乘与数的乘法结合律69），，10）若,则即，若，则或．3n维向量空间定义数域P上的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间，记作．7线性方程组每个方程对应一个向量，(1)方程的解也是一个向量8第一个方程的3倍减去第二个方程等于第三个方程有一个解为？9设一、线性组合定义和称为向量组　的一个线性组合.若向量可表成向量组　的一个线性组则称向量　可由向量组线性表出.合，10若能，写出它的一个线性组合．解：设，即有方程组（1）例1判断向量　

3、能否由向量组　　　　线性表出.11对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵所以方程组(1)有解．它的一般解为得(1)的一个解，令从而有122）零向量0可由任一向量组线性表出.3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.4）任一维向量都是向量组也称为n维单位向量组．的一个线性组合．事实上，有对任意　　　　　　　　皆有注：1)若，也称向量与成比例.131、定义二、向量组的等价向量组等价.若向量组中每一个向量若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个可以由向量组线性表出；皆可由向量组线性表出，则称向量组14向量组之间的等价关系具有：1

4、)反身性2)对称性3)传递性2、性质15三、线性相关性1、线性相关注：特殊情形2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.定义1：如果向量组中有一向量称为线性相关的.可由其余向量线性表出，则向量组1）向量组线性相关成比例.16定义1'：向量组称为线性相关如果存在P上不全为零的数的,使在时，定义1与定义1'是等价的.注：例2判断下列向量组是否线性相关.17定义2：若向量组　不线性相关，则称若不存在P中不全为零的数，使向量组为线性无关的.2、线性无关即18必有换句话说，对于一个向量组若由则称向量组为线性无关的.191）单独一个向量线性相关当

5、且仅当它是零向量；3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.个向量可由其余向量线性表出.3、线性相关性的有关性质2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量组一定线性相关.205）如果向量组线性无关，而向量组线性相关，则可经向量组线性表出.(习题3)都线性无关.4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组21是齐次线性方程组只有零解；的充要条件是6）向量组（2）向量组线性相关线性无关的充要条件齐次线性方程组(2)有非零解.22特别地

6、，对于n个n维向量行列式行列式线性无关.线性相关；个数＝维数23的缩短组.7）若向量组线性无关，也线性无关.向量组常称为向量组的延伸组；注：称为而相关，则向量组也线性相关.反之，若向量组线性则向量组24例3判别下列各向量组的线性相关性25个数=维数利用行列式来判别解：26利用性质：若向量组线性无关，则添加新的分量考虑由的后三个分量构成的向量组令线性无关线性无关后的向量组也线性无关。解：27由于线性无关，于是有设即例4已知向量组线性无关，向量证明：线性无关.解之得所以线性无关.证：288）向量组线性相关的基本性质定理定理2设　与为两

7、个i)向量组可经线性表出；则向量组必线性相关.ii)向量组，若29要证线性相关，即证有不全为零的数使证：由i)，有作线性组合若能找到不全为０的，使30中，方程的个数s＜未知量的个数r，在方程组（3）从而有不全为零的数，使所以（3）有非零解.所以线性相关。则也使31推论2任意n＋1个n维向量必线性相关.推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数推论1若向量组可经向量组线性表出，且线线性无关，则的向量.（任意个n维向量必线性相关.）321、极大线性无关组i)线性无关；极大线性无关组，简称极大无关组.定义为中的一个向量组，设线性表出；ii

8、)对任意的,可经四、极大线性无关组　秩则称为向量组的一个一个部分组若满足它的331）一个向量组的极大无关组不是唯一的.注3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.4）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.5）一个向量组的任意两个极