U(n，1)上的n-李代数结构

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1、徐传博硕士学位论文答辩委员会成员名单姓名职称单位备注王建磐教授华东师范大学主席胡乃红教授华东师范大学芮和兵教授华东师范大学1引言1．1研究背景李代数是19世纪挪威数学家M．S．李在创立李群时首次引进的一个数学概念，它是一类非常重要的非结合代数．在19世纪末20的前叶，李代数的理论得到了长足的发展和完善．其中法国数学家E．Cartan于1894年给出了变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一。个完全分类；他和德国数学家Killing都发现，单李代数总共可分为4个类型和5个例外代数，E．Cartan还构造出了这些例外代数，他和德国另一一位数学家Weyl用表示理论来研究李代数．

2、随着理论的完善，李代数在数学以及古典力学和量了力学中的地位日益上升，特别是到了20世纪80年代，它不仅被理解为群论问题线性化的工具，而且还成为有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源．毫无疑问，它已经成为一个重要的数学分支(参见【l】)．1960年Kurosh在他的文章【2】中引入了一类具有多个多元线性运算的Q．代数．另外他在文章【3】中讨论了一类具有反对称性的珏代数，这类代数就包含拿代数．我们知道在一个结合代数上若定义换位运算k纠=xy—yx所得到的代数就是一个李代数．类似于李代数，在参考文献【3】中，作者在。。个结合Q．代数上构造了这类具有反对称性的Q．代数．1985

3、年Filippov在他的文章【4】中首次引入n一牟代数的概念．它是。类只含有一个刀元线性运算‰的反对称的Q代数∽≥2)，并满足广义Jacobi恒等式：(<札⋯，而)‰⋯Y2⋯yn)O)n=∑(札⋯，《胃⋯Y2⋯yn)Wn⋯．，Xn>un．1-l当n=2时，它就是一个李代数．另外在他的这篇文章中，Filippov给出了咒．李代数的第一个例子，并且引进了n．李代数单纯性和可解性的概念以及给出了n+1维n．李代数的分类定理．近年来，很多学者对n．李代数的研究做了不懈的努力．Kasymov在他的文章【5，6，7，8】中引进了幂零n．李代数的概念并证明了类似于李代数的Engel定理

4、．Pozhidaev在他的文章[9，10】中研究了无限维咒．李代数的情况．MichaelPeretzianWilliams则在Jacobian，1．李代数上构造了一类幂零n．子代数结构(参见【11】)．我国学者白瑞蒲，孟道骥等人对甩．李代数也做过很多的研究．他们讨论了九．李代数的分解及唯一性，以一李代数的Frattini子代数的性质，疗．李代数的中心扩张，n+1维，1．李代数的导子代数以及一些低维，1．李代数的分类等问题(参见【13，14，15，16，17，181)．因为运算的多元性，对一般的n．李代数的研究比李代数的研究要困难得多．例如，单李代数中著名的Jacobson

5、定理就不能平移到，1．李代数中．所以对，1．李代数的结构的刻画还远远没有达到完善的程度．因此，我们需要在有限乃至无限维李代数上引进更多结构性概念和例子来帮助我们对它的理解．故本文就在1．2基本概念和定理此背景下，以李代数为基础，将关于李代数的导．了的研究方法以及MichaelPeretzianWilliams在他的文章【11】中对一类幂零九．拿代数构造的方法应用到特征为P≥3域F上的以．李代数瓤(，l，1)的导子以及幂零子代数上去，并获得了一些结果．本文结构如下：第一章介绍，1．李代数和除幂代数的一些基本概念和性质；第二章给出除幂代数瓤①，1)作为，1．李代数时的生成元组

6、，并构造了一类幂零予代数结构以及具体给出了它的导子代数．本节我们先回顾一下。’些基本概念和结果，它们都是标准的(参见【4，5，11，121)．定义1．1n．李代数L是域F上具有玎元线性运算【⋯．，】的向量空胤且对任意Xi，"∈L(1≤f5刀，2≤J≤咒)，有以下两等式成立?【xl⋯．，xi⋯．，即⋯．，而】=0，当Xi=xj，i≠j『时’【k⋯⋯麓⋯．，而】，Y2⋯．，％】=∑【工l'．⋯k，Y2⋯．，％】⋯．，而】．i=l例1．假设A为(n+1)．维实欧氏空间．el,e2⋯．，eM为它的一组正交基．对任意XI,x2⋯．，Xn∈A，Xi2xi㈣e+⋯+墨．，l+l靠+1(

7、江1，2⋯．，咒)，定义：hl，耽⋯．，h】=并记A。十1=(A，【⋯．，】)．命题1．1A肿l是一个厅．李代我．Xlne1％e2，1xn+l。2⋯Xn+1．n例2．假设A为交换结合F-代数．对A上任意给定导子Dl'⋯，见，如果功研=qDj，i,j=1⋯．，以，那么对任意的XI⋯．，而∈A，定义：[xl，⋯，蕊，⋯，xn】=det(Df即)l冬‘J卯，并记A’=(A，【⋯．，】)．命题1．2A‘是一个n．李代魏2●2．却娩一1．2基本概念和定理定义1．2设D为甩．李代数L上的线性变挽若D满足Dhl’．⋯而⋯．，而】=∑防l'．