两个重要极限、极限存在准则

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第十讲函数极限存在准则、两个重要极限第三章函数的极限与连续性本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“ε－δ”和“ε－X”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极限求相应的函数极限。理解函数在一点连续以及在区

2、间上连续的概念，会判断函数间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。第四、五节极限存在准则、两个重要极限第三章函数的极限与连续性二.夹逼定理一.单调收敛准则三.两个重要极限五.柯西准则四.函数极限与数列极限的关系一.单调收敛准则一般说成:在某极限过程中,单调有界的函数必有极限.看懂后,用精确地语言描述它.二.夹逼定理函数极限的夹逼定理定理证例1解夹逼定理二.重要极限首先看看在计算机上进行的数值计算结果：0.10.99833416646828154

3、750180.010.99998333341666645335270.0010.99999983333334163670970.00010.99999999833333341747730.000010.99999999998333322093200.0000010.99999999999983335552400.00000011.00000000000000000000000.000000011运用夹逼定理,关键在于建立不等式.xO1DBAxy从图中可看出:证由sinx与cosx的奇偶性可知：一般地其中,a≠0为常数.求解例2求解例3xa时,

4、(x)=xa0,求故解例4解例5求求故解例6(2)求(1)请自己动手做一下例7(1)解(2)解由三角函数公式求例8解故原式2.重要极限特别重要啊！变量代换下面先证明由它能得到吗？如果可行,则可以利用极限运算性质得到所需的结论吗？进一步可得吗？在讨论数列极限时,有第一步：证明因为x+,故不妨设x>0.由实数知识,总可取nN,使nx

5、求解(即k=2的情形)求例11解(1)求例12解解此题的另一解法：求例13解又故常用的方法例14解首先平方例15解你想怎么做?例16解Df为函数f(x)的定义域.其中,极限值a可为有限数或为；四.函数极限与数列极限的关系定理该定理说明：证必要性：即有充分性：反证法下面怎么做？充分性：反证法证例17五.柯西(Cauchy)准则定理1(柯西收敛准则)证必要性：充分性：剩下的工作请看书！定理2(柯西收敛准则)请自己证明.