1.1直角坐标系平面上的伸缩变换

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1、1．1直角坐标系，平面上的伸缩变换1．1.1直角坐标系1．1.2平面上的伸缩变换基础达标π2x＋1．把函数y＝sin2x的图象变成y＝sin3的图象的变换是()ππA．向左平移B．向右平移66ππC．向左平移D．向右平移33答案：Aπ2x＋解析：由函数y＝sin2x的图象得到y＝sin3的图象所作的变换为πX＝x－，6π故是向左平移个单位．6Y＝y，2．已知▱ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则点D的坐标是()A．(9，－1)B．(－3,1)C．(1,3)D．(2,2)答案：C解析：由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求

2、出D点坐标．设D(x，y)，2－0y－1＝，－1－3x－5kAB＝kDC，则即2－y0－1kAD＝kBC，＝.－1－x3－5x＝1，∴，故D(1,3)．y＝3.3．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin2x变为曲线Y＝sinX的伸缩变换是()x＝2XX＝2xA.1B.1y＝YY＝y33x＝2XX＝2xC.D.y＝3YY＝3y答案：BX＝ax1解析：设代入第二个方程Y＝sinX得by＝sinax，即y＝sinax，Y＝byb1b＝，3比较系数可得a＝2.4．在△ABC中，已知B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为_______________

3、_____________．x2y2答案：＋＝1(y≠0)95解析：∵△ABC的周长为10，∴

4、AB

5、＋

6、AC

7、＋

8、BC

9、＝10.其中

10、BC

11、＝4，即有

12、AB

13、＋

14、AC

15、＝6>4.∴A点轨迹为椭圆除去长轴两顶两点，且2a＝6,2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.x2y2∴A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．955．在平面直角坐标系中，方程x2＋y2＝1所对应的图形经过伸缩变换X＝2x，后的图形所对应的方程是____________．Y＝3yX2Y2答案：＋＝149X2Y2解析：代入公式可得＋＝1.496．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换1x′＝x

16、，21后的图形．y′＝y3(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1.解：根据变换公式，分清新旧坐标代入即可．1x′＝x，2(1)由伸缩变换1y′＝y.3x＝2x′，得到将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是y＝3y′.5x′＋3y′＝0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线．x′＝2x′，(2)将代入x2＋y2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是y′＝3′y.x′2y′＋＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆．1149综合提高X＝5x，7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线Y＝3yX2＋4Y2＝1，则曲线C的方程为()A．25x2＋36

17、y2＝1B．9x2＋100y2＝12282C．10x＋24y＝1D.x＋y＝1259答案：AX＝5x，解析：将代入X2＋4Y2＝1，得25x2＋36y2＝1，为所求曲线C的方Y＝3y程．8．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：若C点在x轴上可设点C(x,0)，由∠ACB＝90°，得

18、AB

19、2＝

20、AC

21、2＋

22、BC

23、2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋1，解得x1＝0，x2＝2.∴C点为(0,0)，(2,0)．若点C在y轴上可设点C为(0

24、，y)，由∠ACB＝90°，得

25、AB

26、2＝

27、AC

28、2＋

29、BC

30、2.∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(3－y)2＋(0－3)2＋(y－1)2，解之得y1＝0或y2＝4.故C点的坐标为(0,0)，(0,4)．∴这样的点C有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点．X＝3x，9．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线Y＝yX2＋9Y2＝9，则曲线C的方程是__________．答案：x2＋y2＝110．已知三角形的三个顶点为A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(－5,0,2)，则过A点的中线长为________．答案：711．已知▱A

31、BCD，求证：

32、AC

33、2＋

34、BD

35、2＝2(

36、AB

37、2＋

38、AD

39、2)．解：法一：(坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，bc则AC的中点E(，)，由对称性知D(b－a，c)，22所以

40、AB

41、2＝a2，

42、AD

43、2＝(b－a)2＋c2，

44、AC

45、2＝b2＋c2，

46、BD

47、2＝(b－2a)2＋c2，

48、AC

49、2＋

50、BD

51、2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，

52、AB

53、2＋

54、AD

55、2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴

56、AC

57、2＋

58、BD

59、2＝2(

60、AB

61、2＋

62、