高中数学第八章解三角形8.1正弦定理（二）学案湘教版

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1、8.1　正弦定理(二)[学习目标]　1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是.(1)在△ABC中，若＝＝，则A＝90°(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝b(3)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B；反之，若A>B，则sinA>sinB(4)在△ABC中，＝答案　(2)解析　对于(1)，由正弦定理可知，sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝45°，故A＝90°，故(1)正确.对于(2)，

2、由sin2A＝sin2B可得A＝B或2A＋2B＝π，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故(2)错误.对于(3)，在△ABC中，sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，故(3)正确.对于(4)，因为＝＝，12所以＝，故(4)正确.[预习导引]1.正弦定理的常见变形(1)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(2)＝＝＝＝2R；(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝.2.三角变换公式(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(2)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(3)sin2α＝2sinαcosα.要

3、点一　利用正弦定理判断三角形的形状例1　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.解　方法一　在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径).∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴2＝2＋2，即a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°.由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝.∵B是锐角，∴sinB＝，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.方法二　在△ABC中，根据正弦定理：sinA＝，sinB＝，sinC＝.∵sin2A＝sin

4、2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形且A＝90°.12∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC.∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即B＝C.∴△ABC是等腰直角三角形.规律方法　依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应

5、用A＋B＋C＝π这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.跟踪演练1　在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状.解　在△ABC中，由正弦定理＝∴＝，∴＝.又∵a2tanB＝b2tanA，∴＝，∴＝，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.要点二　利用正弦定理求最值或范围例2　在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围.解　设R为△ABC外接圆的半径.∵a＝

6、2bsinA，∴2RsinA＝4RsinBsinA，∴sinB＝.∵B为锐角，∴B＝.令y＝cosA＋sinC＝cosA＋sin[π－(B＋A)]＝cosA＋sin12＝cosA＋sincosA＋cossinA＝cosA＋sinA＝sin.由锐角△ABC知，－B

7、BC中，若C＝2B，求的取值范围.解　因为A＋B＋C＝π，C＝2B，所以A＝π－3B>0，所以0