南航戴华《矩阵论》第五章Hermite矩阵与正定矩阵

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1、第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite二次型5.4Hermite矩阵的特征值*5.3矩阵不等式5.2Hermite正定（非负定）矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite二次型5.1.1Hermite矩阵5.1.2矩阵的惯性5.1.3Hermite二次型5.1.1Hermite矩阵Hermite矩阵具有如下简单性质：(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵；(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1是Hermite矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对实数k,p,kA+pB是

2、Hermite矩阵；若A,B是Hermite矩阵，则AB是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵S，SHAS是Hermite矩阵。定理5.1.1定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U使得定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得5.1.2矩阵的惯性定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A相合于矩阵其中r=ran

3、k(A)，s是A的正特征值（重特征值按重数计算）的个数。(5.1.3)中矩阵称为n阶Hermite矩阵A的相合标准形。定理5.1.6(Sylvester惯性定律）设A,B是n阶Hermite矩阵，则A与B相合的充分必要条件是5.1.3Hermite二次型则A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的矩阵，并且称A的秩为Hermite二次型的秩。记利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可表示为设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x=Py，则Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二

4、次型的标准形。定理5.1.7对Hermite二次型f(x)=xHAx，存在酉线性变换x=Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite二次型f(x)变成标准形定理5.1.8对Hermite二次型f(x)=xHAx，存在可逆线性变换x=Py使得Hermite二次型f(x)化为其中r=rank(A)，s=π(A).Hermite二次型可分为五种情况定义5.1.1设f(x)=xHAx为Hermite二次型。定理5.1.9对Hermite二次型f(x)=xHAx,有5.2Hermite正定（非负定）矩阵定义5.2.1正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：定理5.2.1设A是n

5、阶Hermite矩阵，则下列命题等价：(1)A是正定矩阵；(2)对任意n阶可逆矩阵P,PHAP都是Hermite正定矩阵；(3)A的n个特征值均为正数；(4)存在n阶可逆矩阵P使得PHAP=I；(5)存在n阶可逆矩阵Q使得A=QHQ；(6)存在n阶可逆Hermite矩阵S使得A=S2.推论5.2.1定理5.2.2设A是n阶Hermite矩阵，则下列命题等价：(1)A是非负定矩阵；(2)对任意n阶可逆矩阵P,PHAP是Hermite非负定矩阵；(3)A的n个特征值均为非负数；推论5.2.2定理5.2.3n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是A的顺序主子式均

6、为正数，即定理5.2.4n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是A的所有主子式全大于零。定理5.2.5n阶Hermite矩阵A非负定的充分必要条件是A的所有主子式均非负。定理5.2.6n阶Hermite矩阵A正定的充分必要条件是存在n阶非奇异下三角矩阵L使得定义5.2.2则称λ为广义特征值问题的特征值，非零向量x称为对应于特征值的特征向量。定理5.2.7设A,B均为n阶Hermite矩阵，且B>0，则存在非奇异矩阵P使得5.3矩阵不等式定义5.3.1设A,B都是n阶Hermite矩阵，若A－B≥0，则称A大于或等于B（或称B小于或等于A），记作A≥B（或B

7、≤A）；若A－B＞0，则称A大于B（或称B小于A），记作A>B或（B

8、te矩阵，且A≥0,B>0，则定理5.