南航戴华矩阵论 第七章 矩阵函数与矩阵值函数.ppt

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1、第7章矩阵函数与矩阵值函数7.1矩阵函数7.2矩阵值函数7.3矩阵值函数在微分方程组中的应用7.4*特征对的灵敏度分析7.1矩阵函数7.1.1矩阵函数的幂级数表示7.1.2矩阵函数的另一种定义7.1.1矩阵函数的幂级数表示定义7.1.1定理7.1.1推论7.1.1定理7.1.27.1.2矩阵函数的另一种定义设矩阵A的最小多项式为定理7.1.3定义7.1.2则定义矩阵函数f(A)为定理7.1.4定理7.1.5定理7.1.6其中且(7.1.25)给出的矩阵函数f(A)与A的Jordan标准形J中Jordan块的排列次序及变换矩阵P的选取均无关。定理7

2、.1.7定理7.1.87.2矩阵值函数7.2.1矩阵值函数7.2.2矩阵值函数的分析运算7.2.1矩阵值函数定义7.2.1称为定义在(a,b)上的矩阵值函数。特别地，当n=1时，得到向量值函数。通常用等形式表示。定义7.2.2区间(a,b)上m×n矩阵值函数A(x)不恒等于零的子式的最高阶数称为A(x)的秩，记为rank(A(x))。特别地，如果A(x)是区间(a,b)上n阶矩阵值函数，并且rank(A(x))=n，则称A(x)为满秩的。定义7.2.3则称A(x)在(a,b)上可逆，并称B(x)为A(x)的逆矩阵，记为A-1(x)。定理7.2.1

3、n阶矩阵值函数A(x)在区间(a,b)上可逆的充分必要条件是

4、A(x)

5、在(a,b)上处处不为零，并且其中是A(x)的伴随矩阵值函数，Aij(x)是A(x)中元素aij(x)的代数余子式。7.2.2矩阵值函数的分析运算定义7.2.4定义7.2.5矩阵值函数的导数运算具有下列性质：因为矩阵乘法没有交换律，一般地，对正整数m>1和可导的n阶矩阵值函数A(x)定理7.2.2如果n阶矩阵值函数A(x)在(a,b)上可逆且可导，则定义7.2.6为A(x)在[a,b]上的积分。矩阵值函数的积分具有如下性质：(3)对常数矩阵A和C，有(4)如果矩阵值函数A(x

6、)在[a,b]上连续，则(5)如果矩阵值函数A’(x)在[a,b]上连续，则定义7.2.7矩阵值函数的导数具有如下性质：7.3矩阵值函数在微分方程组中的应用一阶线性微分方程组其中方程组(7.3.1)的初始条件可以表示成定理7.3.1设A是n阶常数矩阵，则微分方程组定义7.3.1设A是n阶常数矩阵，如果对任意的t0和x0，初值问题定理7.3.2对任意的t0和x0，初值问题(7.3.8)的解x(t)渐近稳定的充分必要条件是矩阵A的特征值都有负实部。定义7.3.2设A是n阶矩阵，如果A的特征值都有负实部，则称A为稳定矩阵。定理7.3.3设A是n阶常数矩

7、阵，则微分方程组7.4*特征对的灵敏度分析定理7.4.1则方程组定理7.4.2则方程组证明是非奇异矩阵，并且令定理7.4.3由(7.4.3)和(7.4.6)得令由定理7.4.1知，方程组令由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有由定理7.4.1知，方程组令由(7.4.8)，(7.4.17)和(7.4.18),有定理7.4.4定理7.4.5则定理7.4.6