《随机变量及分布》PPT课件

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1、主要内容（2学时）一、一维随机变量函数Y=g(X)的分布。1、离散型Y=g(X)；2、连续型Y=g(X)(重点）二、二维(X,Y)函数的分布1、离散型Z=g(X,Y)的分布2、Z=X+Y的分布(重点）3、M=Max(X,Y)和N=Min(X,Y)的分布（重点）第九节随机变量函数的分布问题的提出实际中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣.1、已知圆的直径d的分布，求园的面积S=d2的分布.例如：2、变速直线运动质点的速度v、时间t联合分布已知，求位移S=vt的分布.归纳：1、随机变量X的分布已知，Y=g(X)，求Y的分布？2、设随机变量(X,Y)的联合分布已知，Z=g(

2、X,Y),如何由(X,Y)的分布求Z的分布？一、一维随机变量函数Y=G(X)的分布解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13{X=a}与{Y=2a+3}两事件同时发生，两者具有相同的概率.故1、离散型Y=g(X)X-2-1012Y20026P0.20.10.10.30.3Y026P0.20.50.3再对等值合并解：设X，U的分布函数分别为FX(x),FU(u)2、连续型Y=g(X)设函数Y=g(X)严格单调(递增)Y=g(X)非严格单调时，分段单调，分段求反函数即可。U的概率密度当y>0时,注意到Y=X20，故当y0时，解：设Y和X的分布函数分别为，则Y=X2的

3、概率密度为：启示：从例3-4中看到，在求F(y)=P(Y≤y)过程中，关键就是设法从{g(X)≤y}中解出X，从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式.目的：为了利用X的分布，从而求出Y=g(X)的概率.求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。例5（P63,例4）设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布。求：（1）(略).（2）Y=-2lnX的概率密度.二、二维(X,Y)函数的分布1、离散型Z=g(X,Y)XY-112-125/202/206/203/203/201/20（X，Y）(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)P5/20

4、2/206/203/203/201/20解:将(X,Y)及各函数值列表如下：合并后可得各变量的分布律如下：Z=X+Y-20134P5/202/209/203/201/20W=X-Y-3-2013P6/202/206/203/203/20M=max(X,Y)-112P5/202/2013/20N=min(X,Y)-112P16/203/201/20设(X，Y)的联合概率密度为f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.分析:Z=X+Y的分布函数是积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方半平面2、Z=X+Y的分布(重点）FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤

5、z)Z=X+Y的概率密度为由对称性特别:当X和Y独立时，设(X,Y)的边际密度为fX(x),fY(y)卷积公式解:由卷积公式解:由卷积公式设X、Y是两相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布函数.3、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布（重点）FM(z)=P(M≤z)=P(max(X,Y)≤z)=P(X≤z,Y≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=FX(z)FY(z)即FM(z)=FX(z)FY(z)FN(z)=P(N≤z)=P(min(X,Y)≤z)=1-P(min(X,Y)>z)=1-P(

6、X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)即FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]特例:当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时N=min(X1,…,Xn)的分布函数是M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:FN(z)=1-[1-F(z)]n推广:设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为(i=0,1，…,n)，则FM(z)=[F(z)]n解（1）串联方式：系统L的寿命Z=min(X,Y)（2）并联方式：系统L的寿命Z=max(X,Y)（3）备用方式：系统L的寿命Z=X+Y本节重点总结一、连续型随机变量函数Y=g(X

7、)的分布二、二维连续型(X,Y)函数的分布1、Z=X+Y的分布。2、M=Max(X,Y)和N=Min(X,Y)的分布。1、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算；2、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算；3、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件的概率；4、边际分布律、边际概率密度；4、随机变量独立的定义与性质；5、连续型随机变量函数的分布计算Y=g(X)、相互独立随机变量的和、最大最小值的分布。本章重点总结备选1：若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解:=a