期末考试试题 线性代数I

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1、期末考试试题线性代数I一、填空题（15分，每题3分）1、=。2、若，，线性相关，则=。3、是2阶方阵，是3阶方阵，，，则=。4、若是3阶方阵，且，，均不可逆，则的特征值为。5、二次型是正定二次型，则的取值范围是。二、选择题（15分，每题3分）1、已知为维列向量，，，为阶单位阵，则。A、B、C、D、2、设是4阶方阵，的行列式，则中。A、必有一列元素全为零B、必有两列元素对应成比例C、必有一列向量是其余列向量的线性组合D、任一列向量是其余列向量的线性组合3、设1是的特征值，则。A、1是的特征值B、2是的特征值C、2是的特征值D、1是的特征值4、设向量组，，…,的秩为，则此向量组中。A、任

2、意个向量线性无关B、任意个向量线性相关C、任意个向量线性相关D、任意个向量线性相关5、二次型对应的矩阵为。A、B、C、D、三、计算行列式：（16分，每题8分）1、2、四、（10分）求解矩阵方程第11页五、（10分）已知向量组，,，线性无关，，，，其中，，是数，试证向量组，，线性无关。六、（12分）讨论为何值时，下列方程组无解，有解？并在有解时求出其通解。七、（12分）已知，求一个正交阵，使为对角阵，并写出此对角阵。八、（10分）用配方法化二次型为标准形，并写出可逆变换期末考试试题答案及评分标准线性代数I一、填空题：（15分，每题3分）1、102、63、4、2，-1，15、（-2，1）

3、二、选择题：（15分，每题3分）1、D2、C3、B4、D5、C三、计算行列式：（16分，每题8分）1、====160…………..8分2、==…………..8分四、（10分）解：第11页从而，…………..6分所以==。…………..10分五、（10分）证明：设，…………..2分即，…………..4分从而有，…………..6分因为，,，线性无关，所以，…………..8分得，，，故，，线性无关。…………..10分六、（12分）解：…..3分时，无解；…………..5分时，有无穷组解；…………..7分等价方程组为：，令，得特解，………..8分导出组：，得基础解系，，…………..10分通解为：++，其中，

4、为任意常数。…………..12分七、（12分）解：==0，第11页得特征值，。…..2分对，线性方程组为：，得基础解系：，单位化得；……4分对，线性方程组为：，得基础解系：，…………..6分正交化得：，，…………..7分单位化得：，，..9分，因此所求正交阵为..11分且。……..12分八、（10分）解：=…..2分令，，…………..4分…..6分故经可逆变换，…..8分可将二次型化为。…..10分期末考试试题线性代数II一、填空题（每题4分，共20分）第11页1、设为三阶方阵，且，则。2、设为三阶方阵，且，，则。3、已知是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵必有一个特征值。4、已知，则向量组

5、（线性相关或线性无关）。5、若二次型是正定的，那么应满足不等式。一、选择题（每题4分，共20分）1、设为阶方阵，则的必要条件是（）（A）两行元素成比例（B）必有一行为其余行的线性线性组合（C）中有一行元素全为零（D）任一列为其余列的线性组合2、设A、B、C均为阶方阵，且，则必有（）（A）（B）（C）（D）3、若向量组线性无关；线性相关，则（）（A）必可由线性表示（B）必不可由线性表示（C）必可由线性表示（D）必不可由线性表示4、设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是(）（A）（B）（C）（D）5、若，则有（）（A）（B）（C）对于相同的特征值，矩阵和有相同的特

6、征向量（D）和均与同一个对角阵相似三、计算行列式（本题6分）四、（本题10分）已知，其中，，求矩阵。五、（本题12分）问取何值时，下列方程组无解，有唯一解，有无穷多解?，当方程组有无穷多解时求其通解。六、（本题14分）第11页设矩阵，求可逆相似变换矩阵，使得为对角阵，并计算。七、（本题12分）设三元二次型（！）写出该二次型的矩阵表达式，并求其秩；（2）用配方法将该二次型化为标准形，并写出所作的实可逆线性变换。八、（本题6分）设阶方阵满足，试证明：与均可逆，并求其逆矩阵。期末考试试题线性代数II评分标准一、填空题（每题4分，共20分）1、4；2、O；3、；4、线性无关；5、二、选择题（

7、每题4分，共20分）1、B；2、D；3、C；4、A；5、B三、计算（本题6分）=（2分）=（2分）=（2分）四、（本题10分）（2分）（2分）由第11页得（分）（分）五、（本题12分）（4分）当时，方程组无解；（2分）当且时，方程组有唯一解，（分）当时，方程组有无穷多解，（分），其中为任意实数（分）六、（本题14分）特征值；（分）属于的线性无关的特征向量为，（分）属于的线性无关的特征向量为（分）由于，线性无关，所以，令，则有（2分）则（1分）第11页（分）