聚焦取对数法

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1、来稿日期：2015年8月30日适合栏目：方法技巧mail：ygysjm@sohu.com（字数2249）聚焦取对数法孙建明江苏省高邮中学（225600）高中数学解题除了掌握应有的知识，还要具备必要的数学思想和方法.这其中等价转化的思想尤为重要，可以说数学解题过程就是实施等价转化的过程，通过等价转化能把陌生的问题转化为熟悉的问题、复杂的问题转化为简单的问题，最终使问题得以解决.然而实施等价转化又有许多种具体的方法，如参数法、换元法、数形转化法等等，其中有一种方法是通过取对数，将问题进行等价转化的，姑且称为取对数法吧，还

2、不太为大家所熟悉和掌握，这是因为其一对数知识是高中学的，根基不太牢；其二是平时对数问题接触的比较少，即使偶有接触也是将其转化为指数问题去解决的，很少直面它，因而出现此方法养在深闺人未识的现象也就不足为怪了.既然这样，下面就来“恶补”一下吧！请看题：例1.已知，证明：（其中为自然对数的底数）.【解析】要证明，通过两边取以为底数的自然对数得：，再运用对数的运算法则得：，即问题等价转化为：已知，证明：.设，即等价转化为证明：函数在上为增函数.事实上当时，有成立，所以函数函数在上为增函数.因此当时，有成立，即有成立，从而原题

3、得证.【评注】（1）题中有两个变量，式子中到处都是它们的身影，看似有规律，好似又无规律，通过常规的比较法（无论是作差，还是作商），接下来的恒等变形都有难度，而两边取了对数后，通过分离变量，一边一个，这样问题就转化为证明函数在上为增函数.（2）当然此题也可用作差比较法证明，即已知，证明，接下来就是要证明函数在上为减函数，这由导数知识易得.这里将恒等变形为第5页共5页是关键，就如同前面证法中的取对数那一步一样，有一语惊醒梦中人的感觉.例2.若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，不等式恒成立，所

4、以且；（2）当时，要恒成立，通过两边取以为底数的自然对数得：，即要恒成立，亦即要，对恒成立.设（），令，得，当，则，所以在上递增，当，则，所以在上递减，所以，从而应有，即，综上（1）（2），实数的取值范围为.【评注】此题首先要对分和分两种情形讨论，对于（2）当时，通过取了对数后，就能轻而易举地实施参数分离，将问题引向求函数的最大值，最终使问题得以解决.通过以上两个例题的解析想必对此方法已有一个大概的了解，是否有种跃跃欲试的感觉，准备好了吗？好，请看题：例3．（江苏省2010高考第12题）设为实数，满足，，则的最大值是

5、_____.【解析】由实数满足，可知：，对，两边取以为底的对数得：，，同时对结论也取以为底的对数得：，再换元，令，，，则将问题转化为：已知：，，第5页共5页求的最大值，进而求得的最大值.这就是一个熟悉的问题，解决它通常用线性规划的知识去处理，这里给出另一种解法：设，则通过待定系数法得：所以，由，得由，得以上两式相加得：，即，从而有，即，亦即，所以的最大值是.【评注】（1）通过对条件和结论取对数，将陌生的问题转化为关于的一次线性关系的熟悉问题，接下来就不难想到再用换元法，将复杂的问题转化为简单的线性规划问题，再接下来就

6、知道该作如何处理了.（2）通过与以上方法的类比，此题还有以下的解法：设，通过待定系数法得：，所以，下面的处理方向就很明确了，这里不再赘述，但没有第一种的启发和类比，就不会有第二种方法的诞生.通过上例的解析想必对此方法有了进一步的了解，其实它还隐藏的蛮深的呢，要不要再试试？好，看好题：例4.当（），证明：.【解析】要证明：，通过两边取以为底数的自然对数得：再运用对数的运算法则得：，即亦即，亦即第5页共5页问题等价转化为：当（），证明：.设（），即转化为证明：函数在上为增函数.当时，再令，当时，，所以在上递增，所以，从而

7、当时，有，所以函数在上为增函数.因此，当（）时，有成立，即有成立，从而原命题成立.【评注】满眼都是两变量，有了以上的解题经验，不在雾里看花，取对数走起，再通过分离变量，一边一个，这样问题就转化为证明函数在上为增函数.这题要想用比较法证明就难于奏效，所以有了取对数法，见到“蟑螂”我不怕不怕啦！【结束语】当我走在路上，发现地上有把钥匙，我不会捡，当我知道这是一把装有许多珠宝的保险箱的钥匙，我可能会捡，但当我还知道保险箱藏在哪儿，我就一定捡.所以，学习解题方法也一样，不知道此方法用在哪儿，何时用，那就是白学了，学了也没用.

8、同样，在这里取对数法并不难，它只是问题进行等价转化的第一步，想到它犹如醍醐灌顶，豁然开朗，接下来解题就势如破竹，难在何处要用取对数法呢？仔细观察以上几例，不难发现，这些题都有如下特点：字母变量多、形式复杂、常规变形有难度，最大特点是以幂的形式（如，也有根式，如，其实分数指数幂与根式是可以互化的）参与运算形成的式子，遇到这种情形可尝试用取对数法，