高中数学推理与证明2.1.1合情推理学案含解析

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1、2．1.1　合情推理归纳推理[提出问题]如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an}．问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．提示：由图知：a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝＝＝，a3＝OA3＝＝＝，a4＝OA4＝＝＝＝2.问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？提示：能猜想出an＝(n∈N*)．问题3：直角三角形、

2、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是180°.问题4：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由个别事实推出一般结论．[导入新知]1．归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．[化解疑难]归纳推理的特点15(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，

3、如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.类比推理和合情推理[提出问题]问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的.问题3：以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征．问题4：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．[导入

4、新知]1．类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．2．类比推理的特征类比推理是由特殊到特殊的推理．3．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，它们统称为合情推理．[化解疑难]对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的．如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同．(3)在数学中，我们可以由已经解决

5、的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现．15数、式中的归纳推理[例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．[解]　当n＝1时，S1＝a1＝－；当n＝2时，＝－2－S1＝－，所以S2＝－；当n＝3时，＝－2－S2＝－，所以S3＝－；当n＝4时，＝－2－S3＝－，所以S4＝－.猜想：Sn＝－，n∈N*.[类题通法]归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同

6、性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．[活学活用](1)(陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱56915五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．(2)将全体正整数排成一个三角形数阵：12　34　5　67　8　9　10…按照以上排列的规律，则第n(n≥3)行从左向右数第3个数为________．解析：(1)观察表中数据，并计算F＋V分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，容易观察并猜想F＋V－E＝2.(2)前(n－1)行共

7、有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.答案：(1)F＋V－E＝2　(2)图形中的归纳推理[例2]　(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)A．26　　　　　　　　B．31C．32D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．[解析]　(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…15由表可以

8、看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱