高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程学案含解析

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1、1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是　已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．　将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．　椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)．代入目标函数得z＝5cosφ－8sinφ＝cos(φ＋φ0)＝cos(φ＋φ0).所以目标函数zmin＝－，zmax＝.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求

2、解．1．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．设P(5cosθ，4sinθ)，则

3、PA

4、＝＝＝＝

5、3cosθ－5

6、≤8，当cosθ＝－1时，

7、PA

8、最大．此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5,0)．2．椭圆＋＝1上一动点P(x，y)与定点A(a,0)(0＜a＜3)之间的距离的最小值为1，求a的值．8解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．设动点P(3cosθ，2sinθ)，则

9、PA

10、2＝(3cosθ－a)2＋4sin2θ＝5

11、2－a2＋4.∵0＜a＜3，∴0＜a＜.于是若0＜a≤1，则当cosθ＝a时，

12、PA

13、min＝＝1，得a＝(舍去)；若1＜a＜，则当cosθ＝1时，由

14、PA

15、min＝＝1，得

16、a－3

17、＝1，∴a＝2，故满足要求的a值为2.　　　　　　　椭圆参数方程的应用：求轨迹方程　已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．　由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点C坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．　由题意知A(6,0)，B(

18、0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数θ得到＋(y－1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．3．已知椭圆方程是＋＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．8解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．设P(4cosθ，3sinθ)，Q(x，y)，则有即(θ为参数)．∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求

19、轨迹方程．4．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.又点A在椭圆上，因此＋＝1，得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，线段F1

20、P的中点坐标为(x，y)，则x＝，y＝，所以x＋＝cosθ，＝sinθ.消去θ，得2＋＝1.即为线段F1P中点的轨迹方程.　　　　　　　椭圆参数方程的应用：恒成立问题　已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：

21、OP

22、·

23、OQ

24、为定值．　利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P，Q8两点坐标，求出

25、OP

26、，

27、OQ

28、，再求

29、OP

30、·

31、OQ

32、的值．　设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，

33、B2(0,1)．则MB1的方程：y＋1＝x，令y＝0，则x＝，即

34、OP

35、＝.MB2的方程：y－1＝x，令y＝0，则x＝.∴

36、OQ

37、＝.∴

38、OP

39、·

40、OQ

41、＝×＝4.即

42、OP

43、·

44、OQ

45、＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．5．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b的取值范围是________．解析：将(2cosθ，4sinθ)代入y＝x＋b，得4sinθ＝

46、2cosθ＋b.∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f(θ)＝4sinθ－2cosθ＝2sin(θ－φ)．∴－2≤f(θ)≤2.∴－2≤b≤2.答案：6．曲线(a＞b＞0)上一点M与两焦点F1，F2所成角为∠F1MF2＝α.求证：△F1MF2的面积为b2tan.证明：∵M在椭圆上，∴由椭圆的定义，得

47、MF1

48、＋

49、MF2

50、＝2a，两边平方，得

51、MF1

52、2＋

53、MF2

54、2＋2

55、MF1

56、

57、MF2

58、＝4a2.8在△F1MF2中，由余弦定理，得

59、MF1

60、2＋

61、MF2

62、2－2

63、MF1

64、·

65、MF2

66、c