高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12节导数与函数的极值最值教师用书文

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1、第十二节　导数与函数的极值、最值————————————————————————————————[考纲传真]　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数

2、的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处

3、的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．(　　)(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b12)内的图

4、象如图2121所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)图2121A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4A　[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C　[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．

5、当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]　4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4B．－2C．4D．2D　[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2

6、2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．8　[y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，∴最大值为8.]利用导数研究函数的极值问题12角度1　根据函数图象判断极值　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图2122所示，则下列结论中一定成立的是(　　)图2122A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

7、D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D　[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]　角度2　求函数的极值　求函数f(x)＝x－alnx(a∈R)的极值．[解]　由f′(x)＝1－＝，x＞0知：(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；5分(2)当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，

8、f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，9分从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小