2019年高考数学(文)一轮复习第2章 函数、导数及其应用 第12节 导数与函数的极值、最值学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第十二节　导数与函数的极值、最值[考纲传真]　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．(对应学生用书第34页)[基础知识填充]1．函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值．(2)极大值点与极小值点①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点；②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小

2、值点．(3)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小

3、的一个是最小值．[知识拓展]1．对于可导函数f′(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．(　　)6北师大版2019届高考数学一轮复习学案(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(　　)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．

4、(　　)(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图2121所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)图2121A．1B．2　　　　　C．3　　　　　D．4A　[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－23

5、4，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C　[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]　4．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4B．－2C．4D．2D　[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2

6、的，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上是增加的．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.]5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________.【导学号：00090069】8　[y′＝6x2－4x，令y′＝0，6北师大版2019届高考数学一轮复习学案得x＝0或x＝.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，∴最大值为8.](对应学生用书第35页)利用导数研究函数的极值问题角度1　根据函数图像判断极值　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图2122所示，则下列结论中一定成立的是(　　)图

7、2122A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D　[由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]　角度2　求函数的极值　求函数f(x)＝x－alnx(a∈R)