Ch1-4无穷小量与无穷大量

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1、Ch1函数与极限§1.1集合§1.2函数§1.4无穷小量与无穷大量§1.3函数的极限§1.5函数的连续性一、无穷小量二、无穷小量的比较三、无穷大量四、数列极限与函数极限的关系1.4无穷小量与无穷大量一、无穷小量1定义1在某一极限过程中,以0为极限的变量(数列)称为该极限过程的无穷小量,简称无穷小.无穷小量的等价定义1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;相对于某变化过程而言!2.零是可以作为无穷小量的唯一的数.注意例如,2.无穷小量的性质定理1在同一极限过程中,（1）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小.（2）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小.（3）无穷小与有界量（函数）的乘积是无穷小.注意

2、无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.推论1在同一极限过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.定理1(3)无穷小与有界量(函数)的乘积是无穷小量.证3.有极限的量与无穷小量的关系证例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限二、无穷小量的比较1.常用等价无穷小2.等价无穷小的性质证(1)定理3例1解不能滥用等价无穷小量代换.对于代数和中各无穷小量不能分别代换.注意例2解错例3练习求三、无穷大量观察：越来越大越来越大越来越小越来越大越来越大描述:类似地有M-X定义,类似地可定义：正无穷大，负无穷大．请同学自行思考写出精确数学定

3、义!类似地可定义：正无穷大，负无穷大．(隐藏)同理可定义(隐藏)注意1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大．无界，(隐藏)证例4(隐藏)定理5(无穷小量与无穷大量的关系)在同一极限过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.证证类似地,可证恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量．(隐藏)解例5例6解小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.极限求法小结:a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无

4、穷小运算性质求极限;e.利用无穷小与无穷大的关系求极限;f.利用左右极限求分段函数极限;g.夹逼性;h.单调有界准则;i.两个重要极限关于复合函数极限性质的说明四、数列极限与函数极限的关系定理6（海涅定理)定理6给出了一个判定函数极限不存在的方法：例5证思考