运筹学11-图与网络

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1、第5节对偶问题的经济解释——影子价格在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b，和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经济意义是什么?设B是｛maxz=CX｜AX≤b，X≥0｝的最优基，由-Yb=-CBB-1b可知z*=CBB-1b=Y*b。对z求偏导数，得由上式可知，变量yi*的经济意义是在其他条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函的最优值的变化。[eg.7]maxz=2x1+3x2x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1,x2≥0cj23000θCBXBbx1x2x3x4x52x141001/400x5400-21/213x2

2、2011/2-1/80-z-1400-3/2-1/80y1*=1.5，y2*=0.125，y3*=0。b1：89Q2’(4，2.5)z*’=15.5Δz*=z*’-z*=3/2=y1*b2：1617Q2”(4.25，1.875)z*”=14.125Δz*=z*”-z*=1/8=y2*b3：1213Δz*=0=y3*这说明是其他条件不变的情况下，若设备增加一台时，该厂按最优计划安排生产可多获利1.5元；原材料A增加1kg，可多获利0.125元；原材料B增加1kg，对获利无影响。yi*的值代表对第i种资源的估价-影子价格。这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格，

3、称它为“影子价格”。在该厂现有资源和现有生产方案的条件下，设备的每小时租费为1.5元，1kg原材料A的出让费为除成本外再附加0.125元，1kg原材料B可按原成本出让，这时该厂的收入与自己组织生产时获利相等。影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。第6节偶单纯形法前节讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关系时指出：在单纯形表中进行迭代时，在b列中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基

4、解。通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时，根据性质(2)、(3)可知，已得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解。根据对偶问题的对称性可以这样考虑：若保持对偶问题的解是基可行解，即cj-CBB-1Pj≤0，而原问题在非可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解，这样也得到了最优解。其优点是原问题的初始解不一定是基可行解，可从非基可行解开始迭代。设原问题maxz=CXAX=bX≥0又设B是一个基。不失一般性，令B=(P1，P2，…，Pm)，它对应的变量为XB=(x1，x2，…,xm)当非基变量都为零时，可以得到XB=B-1b。若在B-1b中至少有一个负

5、分量，设(B-1b)i＜0，并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量是(1)对应基变量x1，x2，…,xm的检验数是σi=ci-zi=ci-CBB-1Pj=0，i=1,2,…,m(2)对应非基变量xm+1，…，xn的检验数是σj=cj-zj=cj-CBB-1Pj≤0，j=m+1,…,n每次迭代是将基变量中的负分量xl取出，去替换非基变量中的xk，经基变换，所有检验数仍保持非正。从原问题来看，经过每次迭代，原问题由非可行解往可行解靠近。当原问题得到可行解时，便得到了最优解。对偶单纯形法的计算步骤如下：(1)根据线性规划问题，列出初始单纯形

6、表。检查b列的数字，若都为非负，检验数都为非正，则已得到最优解。停止计算。若检查b列的数字时，至少还有一个负分量，检验数保持非正，那么进行以下计算。(2)确定换出变量按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0＝(B-1b)l对应的基变量xl为换出变量(3)确定换入变量在单纯形表中检查xl所在行的各系数αlj(j=1,2,…，n)。若所有αlj≥0，则无可行解，停止计算。若存在αlj＜0(j=1,2,…，n),计算按θ规则所对应的列的非基变量xk为换入变量，这样才能保持得到的对偶问题解仍为可行解。(4)以αlk为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算，得到新的计算表。重复

7、步骤(1)～(4)。例6用对偶单纯形法求解minω=2x1+3x2+4x3x1+2x2+x3≥32x1-x2+3x3≥4x1，x2，x3≥0解先将此问题化成下列形式，以便得到对偶问题的初始可行基maxz=-2x1-3x2-4x3-x1-2x2-x3+x4=-3-2x1+x2-3x3+x5=-4xj≥0，j=1,2,…,5初始单纯形表，见表2-6。表2-8表2-8中，b列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最优解为X*=(11/5，2/5，0，0，0)T若对应两个约束条件的对偶变量分别为y1和y2，则对偶问题的最优解为Y*=(