D82可分离变量方程和齐次方程

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1、可分离变量方程和齐次方程机动目录上页下页返回结束8.2齐次方程可分离变量方程第八章或形如形如8.2.1可分离变量方程两边积分,得①②则有称②为方程①的隐式通解.机动目录上页下页返回结束形如若则若存在使得，可直接验证也是①的解，这个解有可能不包含在通解中。解法：为可分离变量方程。其中分别为x,y的连续函数.例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.在分离变量时丢失了解y=0，但其含在通解中，因为机动目录上页下页返回结束允许C=0.令例2.求解方程解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)机动目录上页下页返

2、回结束另外y=0,x=0也是方程的解，它不包含在通解中。8.2.2齐次方程形如的方程叫做齐次方程.作变量变换代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例3.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束例4.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束内容小结1.可分离变量方程的求解方法:分离变量后积分;根据定解条件定常数.机动目录上页下页返回结束2.齐次方程的求

3、解方法：通过变量变换将齐次方程转化为可分离变量方程，按可分离变量方程的方法解完后，再将变换代回即可。作业P3531(1),(3),(5);2(1),(3);3(2),(4).第三节目录上页下页返回结束思考与练习求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为机动目录上页下页返回结束备用题解法1分离变量即(C<0)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束