§1.6 极限存在准则两个重要极限§1.7无穷小的比较

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1、第六节极限存在准则两个重要极限内容提要1.两个极限存在准则；2.两个重要极限。教学要求1.了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）；2.熟练掌握用两个重要极限求极限。(1)(2)一、极限存在准则1.夹逼准则注：上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限注:上述两个准则称为夹逼准则..，并且他们的极限是容易求出来的利用夹逼准则求极限关键是构造出数列和例1求解由夹逼定理得又2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:满足条件如果数列xn二、两个重要极限(x取弧度单位)如图所示,作单位圆则圆心角∠AOB=x，显然有AODAOBSSSDD<

2、别除以xsin1.对于情形,有证:x<<再取倒数,得1sincos<

3、：解解解练习小结二、两个重要极限重要极限一:重要极限二：(3)互倒夹逼准则;单调有界准则.一、两个准则作业P56习题1-61(1)(3)(5)2(1)(2)(3)第六节无穷小的比较内容提要无穷小量的比较。教学要求熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质以及一些常见的等价无穷小。由无穷小的性质可知,两个无穷小的和、差、积仍为无穷小,但两个无穷小的商会出现不同的情况。如:当0®x时,函数x2,xsin都是无穷小。但是0=¥=21=(3)2sinxx由此可见,无穷小虽然都是以0为极限的变量,但它们趋向0的速度不一样,趋向0的“快”、“慢”程度,我们引入无穷小的“阶”的概念。为了反映无穷小

4、定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设a,b是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作例如03lim30=®xxxQ)0(®x)3(3=xox1sinlim0=®xxxQ)0(®x~sinxx1-x与12-x同阶无穷小)1(®x)0(®x可以证明:当0®x时,有下列等价无穷小：x~xsinx~xtanx~ex1-x~x)1ln(+2~2xcos1x-利用等价无穷小可以简化某些极限的运算,有下面定理：定理1.定理2设当0xx®时,)(~)(xxaa¢,)(~)(xxbb¢

5、且)()(lim0xxxxab¢¢®存在(或¥),)()(lim0xxxxab¢¢=®则)()(lim0xxxxab®证明因)()(lim0xxxxab®)()(lim0xxxxab¢¢=®(证毕))()(xxaa¢)()(xxab¢¢)()(xxbb¢lim0xx=®)()(lim0xxxxaa¢®)()(lim0xxxxab¢¢®)()(lim0xxxxbb¢=®23lim0=®xxx例1求2tan3sinlim0®xxx,0时当®x0=0lim30=®xxlim30-=®xxxx这种解法是错误的！解正确的解法如下.正确的解法如下.30sintanlim2xxxx-®求例,0时

6、当®xQ.sin不是无穷小是无穷小，而时，xxxp®Qcos21lim0=®xxcos2lim320.=®xxxxxcos)cos1(sinlim30-=®xxxxxsintanlim30-®xxxx解注意：用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用无穷小量替换分子或分母，也可替换分子或分母的因式，而对分子或分母中“+”，而对分子或分母中“+”，部分不能分别作替换。30sintanlimxxxx-®求,0时当®x小结1.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等

7、价无穷小;无穷小的阶.作业P59习题1-71，4(1)(3)