§10.5对坐标的曲面积分

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1、•曲面分类双侧曲面单侧曲面牟彼乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)一、有向曲面及曲面元素的投影§10.5对坐标的曲面积分其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:曲面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.(2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由以下向量函数给出:是速度场中的一有向曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都在上连

2、续,求在单位时间内流向指定侧的流体的质量.xozy1.分割:把曲面分成n小块Si(Si同时也代表第i小块曲面的面积),法向量为.则该点流速为,在Si上任取一点(i,i,i),Si(i,i,i)该点处的单位法向量2.近似:通过Si流向指定侧的流量的近似值为:(i=1,2,,n)3.求和:通过流向指定侧的流量:4.取极限:令0,得到流量的精确值.三、对坐标的曲面积分的概念及性质定义:设为光滑的有向曲面,函数R(x,y,z)在上有界,把任意分割成n块小曲面Si(Si同时又表示第i块小曲面的面积)(i=1,2,,n),

3、Si在xoy面上的投影为(Si)xy,(i,i,i)是Si上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值0时,极限存在,则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,y的曲面积分(也称为第二类曲面积分).记作即积分曲面被积函数有向面积元积分和类似可定义:组合形式:物理意义:流量问题3.存在性定理:当P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向光滑曲面上连续时,对坐标的曲面积分存在.性质:由定义可知,对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分相类似的性质.1.对积分曲面的可加性:1与2的侧要相容.2.积分曲面的反向性:由假设条

4、件知:上式左边为函数R(x,y,z)在上对坐标x,y的曲面积分,而右边为一个在区域Dxy上的二四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面是由方程z=z(x,y)所给出的曲面上侧,在xoy面上的投影区域为Dxy,函数z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在上连续.Dxyz=z(x,y)Sixozy(Si)xy=(i)xyPi(i,i)由于取上侧,则cos>0,故(Si)xy=(i)xy,又i=z(i,i),则重积分,因此有这就是将对坐标的曲面积分化为二重积分的计算公式.如果取下侧,则cos<0,故(S

5、i)xy=–(i)xy,注意:对坐标的曲面积分,必须注意积分曲面所取的侧(方向).如果由x=x(y,z)给出,则有如果由y=y(z,x)给出,则有概括为:一投、二代、三定号投:将积分曲面投影到与有向面积元素(如dxdy)中两个变量同名的坐标面上(如xoy面);代:将曲面的方程表示为二元显函数,然后代入被积函数,将其化成二元函数;定号:由曲面的方向,即曲面的侧确定二重积分的正负号.注1:积分曲面的方程必须表示为单值显函数,否则分片计算,结果相加;注2:确定正负号的原则:曲面取上侧、前侧、右侧时为正;曲面取下侧、后侧、左侧时为负.例1:计算其中是柱面x2+y2=

6、1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限的部分的前侧.解:由于在xoy面的投影区域的面积为0,在yoz面的投影区域为Dyz:0z3,0y1.故故在zox面的投影区域为Dzx:0z3,0x1.故所以例2:计算其中是球面x2+y2+z2=1外侧在x0,y0的部分.解:把分成下半1和上半2两部分,即则1,2在xoy面上的投影区域Dxy:x2+y21,x0,y0.例3:计算平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.其中是xyzo1234解:将分成四个部分:左侧1:y=0,x+z1

7、;下侧2:z=0,x+y1;后侧3:x=0,y+z1;上侧4:x+y+z=1被x=0,y=0,z=0,所截得的部分;因1在xoy,yoz面上的投影面积为0,而在zox面上y=0,所以同理在4上:同理所以xyz注:对坐标的曲面积分的对称性(1)被积表达式具有轮换对称性,即将被积表达式中的所有字母按顺序代换后原式不变;(2)积分曲面及其侧具有对称性,这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同,且配给的符号也相同.z=z(x,y)五、两类曲面积分之间的联系设有向曲面是由方程z=z(x,y)给出,在xoy面上的投影区域为Dxy,函数z=z(x,