特征方程法(周二讲义).doc

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1、特征方程法一、一阶线性递推数列定理1：已知数列的项满足其中,称方程为数列的特征方程，设特征方程的根为，则（1）当时，数列为常数数列；（2）当是以为公比的等比数列。例1．已知数列满足：，，求解：相应特征方程为所以数列是首项为的等比数列.二、形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为…①若①有二异根，则可令是待定常数）若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例2已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，例3已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，解得，令，由，得，3*．已知数列满足，求数列的通项3**．已知数列

2、满足，求数列的通项三、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为…②若②有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得若②有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例4已知满足，求的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，例5已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，例6.（2009陕西卷文）已知数列满足，.令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公

3、式。（1）是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。例7解：（1）由得将代入化简得.所以.故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.例8解：其中数列的通项公式的求解如下：数列相应的特征方程为，特征根为可设。又由，于是，故例9解：其中数列的通项公式的求解如下：数列相应的特征方程为，特征根为①当时，可设，由，，得，②当时，可设，由，，得，例10解：其中数列的通项公式的求解如下：数列相应的特征方程为，特征根为所以数列为等比数列，由，得数列的首项是，所以，竞赛题例11、数列中，，。求。解：构建新数列，使则，，即化简得，即数列是以2为首项，为公比的等比数列。即例12、证明：由①式得，代入②

4、得化为构建新数列，，且，由特征方程得两根，所以当，1时，有解得：则则因为为正偶数，所以，是完全平方数。例13、数列满足，且求数列的通项。解：……①令，解得，将它们代回①得，……②，……③，③÷②，得,则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2所以，则，